Cálculo Exemplos

$y = \frac{x}{e^{x}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{x}{e^{x}})$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ é $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , em que $f (y) = x$ e $g (y) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique os expoentes em ${(e^{x})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Etapa 3.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{e^{x} x' - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x$ .

$\frac{e^{x} x' - x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} x' - x (e^{u} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$\frac{e^{x} x' - x (e^{x} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Etapa 3.5

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{e^{x} x' - x (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Reordene os termos.

$\frac{e^{x} x' - e^{x} x x'}{e^{2 x}}$

Etapa 3.6.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.2.1

Fatore $x'$ de $e^{x} x' - e^{x} x x'$ .

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Etapa 3.6.2.1.1

Fatore $x'$ de $e^{x} x'$ .

$\frac{x' e^{x} - e^{x} x x'}{e^{2 x}}$

Etapa 3.6.2.1.2

Fatore $x'$ de $- e^{x} x x'$ .

$\frac{x' e^{x} + x' (- e^{x} x)}{e^{2 x}}$

Etapa 3.6.2.1.3

Fatore $x'$ de $x' e^{x} + x' (- e^{x} x)$ .

$\frac{x' (e^{x} - e^{x} x)}{e^{2 x}}$

Etapa 3.6.2.2

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} - e^{x} x$ .

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Etapa 3.6.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{x' (e^{x} \cdot 1 - e^{x} x)}{e^{2 x}}$

Etapa 3.6.2.2.2

Fatore $e^{x}$ de $- e^{x} x$ .

$\frac{x' (e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- x))}{e^{2 x}}$

Etapa 3.6.2.2.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- x)$ .

$\frac{x' (e^{x} (1 - x))}{e^{2 x}}$

$\frac{x' e^{x} (1 - x)}{e^{2 x}}$

Etapa 3.6.3

Cancele o fator comum de $e^{x}$ e $e^{2 x}$ .

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Etapa 3.6.3.1

Fatore $e^{2 x}$ de $x' e^{x} (1 - x)$ .

$\frac{e^{2 x} (x' e^{- x} (1 - x))}{e^{2 x}}$

Etapa 3.6.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.6.3.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{e^{2 x} (x' e^{- x} (1 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Etapa 3.6.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{2 x} (x' e^{- x} (1 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Etapa 3.6.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x' e^{- x} (1 - x)}{1}$

Etapa 3.6.3.2.4

Divida $x' e^{- x} (1 - x)$ por $1$ .

$x' e^{- x} (1 - x)$

Etapa 3.6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$x' e^{- x} \cdot 1 + x' e^{- x} (- x)$

Etapa 3.6.5

Multiplique $x'$ por $1$ .

$x' e^{- x} + x' e^{- x} (- x)$

Etapa 3.6.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x' e^{- x} - x' e^{- x} x$

Etapa 3.6.7

Reordene os fatores em $x' e^{- x} - x' e^{- x} x$ .

$e^{- x} x' - x e^{- x} x'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = e^{- x} x' - x e^{- x} x'$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $e^{- x} x' - x e^{- x} x' = 1$ .

$e^{- x} x' - x e^{- x} x' = 1$

Etapa 5.2

Reordene os fatores em $e^{- x} x' - x e^{- x} x'$ .

$x' e^{- x} - x x' e^{- x} = 1$

Etapa 5.3

Fatore $x' e^{- x}$ de $x' e^{- x} - x x' e^{- x}$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $x' e^{- x}$ de $x' e^{- x}$ .

$x' e^{- x} \cdot 1 - x x' e^{- x} = 1$

Etapa 5.3.2

Fatore $x' e^{- x}$ de $- x x' e^{- x}$ .

$x' e^{- x} \cdot 1 + x' e^{- x} (- x) = 1$

Etapa 5.3.3

Fatore $x' e^{- x}$ de $x' e^{- x} \cdot 1 + x' e^{- x} (- x)$ .

$x' e^{- x} (1 - x) = 1$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $x' e^{- x} (1 - x) = 1$ por $e^{- x} (1 - x)$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $x' e^{- x} (1 - x) = 1$ por $e^{- x} (1 - x)$ .

$\frac{x' e^{- x} (1 - x)}{e^{- x} (1 - x)} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- x}$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' e^{- x} (1 - x)}{e^{- x} (1 - x)} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x' (1 - x)}{1 - x} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (1 - x)}{1 - x} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Etapa 5.4.2.2.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$