Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x}}{x}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}{lim_{x \to - \infty} x}$

Etapa 1.1.2

Como o expoente $- x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{- x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x}$

Etapa 1.1.3

O limite no menos infinito de um polinômio de grau ímpar cujo coeficiente de maior ordem é positivo é menos infinito.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Etapa 1.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{- \infty}$

Etapa 1.2

Como $\frac{\infty}{- \infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x}}{x} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} (- 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.6

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 \cdot e^{- x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.7

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- e^{- x}}{1}$

Etapa 1.4

Divida $- e^{- x}$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} - e^{- x}$

Etapa 2

Como a função $e^{- x}$ se aproxima de $\infty$ , a constante negativa $- 1$ vezes a função se aproxima de $- \infty$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Considere o limite com o múltiplo constante $- 1$ removido.

$lim_{x \to - \infty} e^{- x}$

Etapa 2.2

Como o expoente $- x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{- x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\infty$

Etapa 2.3

Como a função $e^{- x}$ se aproxima de $\infty$ , a constante negativa $- 1$ vezes a função se aproxima de $- \infty$ .

$- \infty$