Cálculo Exemplos

$P (x) = - x^{3} + \frac{27}{2} x^{2} - 60 x + 100$ , $x \geq 5$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{3} + \frac{27}{2} x^{2} - 60 x + 100$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{27}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [100]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{27}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (\frac{27}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{27}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (\frac{27}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{27}{2} x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $\frac{27}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{27}{2} x^{2}$ em relação a $x$ é $\frac{27}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{27}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{27}{2} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Etapa 1.1.1.3.3

Combine $2$ e $\frac{27}{2}$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{2 \cdot 27}{2} x + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Etapa 1.1.1.3.4

Multiplique $2$ por $27$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{54}{2} x + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Etapa 1.1.1.3.5

Combine $\frac{54}{2}$ e $x$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{54 x}{2} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Etapa 1.1.1.3.6

Cancele o fator comum de $54$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.6.1

Fatore $2$ de $54 x$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{2 (27 x)}{2} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Etapa 1.1.1.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{2 (27 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Etapa 1.1.1.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{2 (27 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Etapa 1.1.1.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{27 x}{1} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Etapa 1.1.1.3.6.2.4

Divida $27 x$ por $1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Etapa 1.1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Como $- 60$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 60 x$ em relação a $x$ é $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (100)$

Etapa 1.1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (100)$

Etapa 1.1.1.4.3

Multiplique $- 60$ por $1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60 + \frac{d}{d x} (100)$

Etapa 1.1.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.1

Como $100$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $100$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60 + 0$

Etapa 1.1.1.5.2

Some $- 3 x^{2} + 27 x - 60$ e $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $P (x)$ com relação a $x$ é $- 3 x^{2} + 27 x - 60$ .

$- 3 x^{2} + 27 x - 60$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 3 x^{2} + 27 x - 60 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 3 x^{2} + 27 x - 60 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $- 3$ de $- 3 x^{2} + 27 x - 60$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $- 3$ de $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 27 x - 60 = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $- 3$ de $27 x$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 9 x) - 60 = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $- 3$ de $- 60$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 9 x) - 3 \cdot 20 = 0$

Etapa 1.2.2.1.4

Fatore $- 3$ de $- 3 (x^{2}) - 3 (- 9 x)$ .

$- 3 (x^{2} - 9 x) - 3 \cdot 20 = 0$

Etapa 1.2.2.1.5

Fatore $- 3$ de $- 3 (x^{2} - 9 x) - 3 (20)$ .

$- 3 (x^{2} - 9 x + 20) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Fatore $x^{2} - 9 x + 20$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $20$ e cuja soma é $- 9$ .

$- 5, - 4$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 3 ((x - 5) (x - 4)) = 0$

Etapa 1.2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 3 (x - 5) (x - 4) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $- 3 (x - 5) (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, 4$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $- x^{3} + \frac{27}{2} x^{2} - 60 x + 100$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $5$ por $x$ .

$- {(5)}^{3} + \frac{27}{2} \cdot {(5)}^{2} - 60 \cdot 5 + 100$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$- 1 \cdot 125 + \frac{27}{2} \cdot {(5)}^{2} - 60 \cdot 5 + 100$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $125$ .

$- 125 + \frac{27}{2} \cdot {(5)}^{2} - 60 \cdot 5 + 100$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$- 125 + \frac{27}{2} \cdot 25 - 60 \cdot 5 + 100$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Multiplique $\frac{27}{2} \cdot 25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.4.1

Combine $\frac{27}{2}$ e $25$ .

$- 125 + \frac{27 \cdot 25}{2} - 60 \cdot 5 + 100$

Etapa 1.4.1.2.1.4.2

Multiplique $27$ por $25$ .

$- 125 + \frac{675}{2} - 60 \cdot 5 + 100$

Etapa 1.4.1.2.1.5

Multiplique $- 60$ por $5$ .

$- 125 + \frac{675}{2} - 300 + 100$

Etapa 1.4.1.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Escreva $- 125$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{- 125}{1} + \frac{675}{2} - 300 + 100$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Multiplique $\frac{- 125}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{675}{2} - 300 + 100$

Etapa 1.4.1.2.2.3

Multiplique $\frac{- 125}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} - 300 + 100$

Etapa 1.4.1.2.2.4

Escreva $- 300$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300}{1} + 100$

Etapa 1.4.1.2.2.5

Multiplique $\frac{- 300}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300}{1} \cdot \frac{2}{2} + 100$

Etapa 1.4.1.2.2.6

Multiplique $\frac{- 300}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300 \cdot 2}{2} + 100$

Etapa 1.4.1.2.2.7

Escreva $100$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300 \cdot 2}{2} + \frac{100}{1}$

Etapa 1.4.1.2.2.8

Multiplique $\frac{100}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300 \cdot 2}{2} + \frac{100}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 1.4.1.2.2.9

Multiplique $\frac{100}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300 \cdot 2}{2} + \frac{100 \cdot 2}{2}$

Etapa 1.4.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 125 \cdot 2 + 675 - 300 \cdot 2 + 100 \cdot 2}{2}$

Etapa 1.4.1.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.4.1

Multiplique $- 125$ por $2$ .

$\frac{- 250 + 675 - 300 \cdot 2 + 100 \cdot 2}{2}$

Etapa 1.4.1.2.4.2

Multiplique $- 300$ por $2$ .

$\frac{- 250 + 675 - 600 + 100 \cdot 2}{2}$

Etapa 1.4.1.2.4.3

Multiplique $100$ por $2$ .

$\frac{- 250 + 675 - 600 + 200}{2}$

Etapa 1.4.1.2.5

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.5.1

Some $- 250$ e $675$ .

$\frac{425 - 600 + 200}{2}$

Etapa 1.4.1.2.5.2

Subtraia $600$ de $425$ .

$\frac{- 175 + 200}{2}$

Etapa 1.4.1.2.5.3

Some $- 175$ e $200$ .

$\frac{25}{2}$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $4$ por $x$ .

$- {(4)}^{3} + \frac{27}{2} \cdot {(4)}^{2} - 60 \cdot 4 + 100$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$- 1 \cdot 64 + \frac{27}{2} \cdot {(4)}^{2} - 60 \cdot 4 + 100$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $64$ .

$- 64 + \frac{27}{2} \cdot {(4)}^{2} - 60 \cdot 4 + 100$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$- 64 + \frac{27}{2} \cdot 16 - 60 \cdot 4 + 100$

Etapa 1.4.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.4.1

Fatore $2$ de $16$ .

$- 64 + \frac{27}{2} \cdot (2 (8)) - 60 \cdot 4 + 100$

Etapa 1.4.2.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$- 64 + \frac{27}{2} \cdot (2 \cdot 8) - 60 \cdot 4 + 100$

Etapa 1.4.2.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$- 64 + 27 \cdot 8 - 60 \cdot 4 + 100$

Etapa 1.4.2.2.1.5

Multiplique $27$ por $8$ .

$- 64 + 216 - 60 \cdot 4 + 100$

Etapa 1.4.2.2.1.6

Multiplique $- 60$ por $4$ .

$- 64 + 216 - 240 + 100$

Etapa 1.4.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.2.1

Some $- 64$ e $216$ .

$152 - 240 + 100$

Etapa 1.4.2.2.2.2

Subtraia $240$ de $152$ .

$- 88 + 100$

Etapa 1.4.2.2.2.3

Some $- 88$ e $100$ .

$12$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(5, \frac{25}{2}), (4, 12)$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(5, \frac{25}{2})$

Etapa 3

Visto que não há um valor de $x$ que torne a primeira derivada igual a $0$ , não há extremos locais.

Nenhum extremo local

Etapa 4

Compare os valores de $P (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $P (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $P (x)$ .

Máximo absoluto: $(5, \frac{25}{2})$

Nenhum mínimo absoluto

Etapa 5