Cálculo Exemplos

$g (x) = \frac{x^{2} + 4}{4 - x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} + 4$ e $g (x) = 4 - x^{2}$ .

$\frac{(4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4] - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{(4 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(4 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(4 - x^{2}) (2 x + 0) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{(4 - x^{2}) (2 x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.2.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $4 - x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot (4 - x^{2}) x - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 (4 - x^{2}) x - (x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.2.6

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (4 - x^{2}) x - (x^{2} + 4) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.2.7

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 (4 - x^{2}) x - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.2.8

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 (4 - x^{2}) x - (x^{2} + 4) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.2.9

Multiplique.

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Etapa 1.2.9.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 (4 - x^{2}) x + 1 (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.2.9.2

Multiplique $x^{2} + 4$ por $1$ .

$\frac{2 (4 - x^{2}) x + (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2 (4 - x^{2}) x + (x^{2} + 4) (2 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.2.11

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 4$ .

$\frac{2 (4 - x^{2}) x + 2 \cdot (x^{2} + 4) x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 \cdot 4 + 2 (- x^{2})) x + 2 (x^{2} + 4) x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cdot 4 x + 2 (- x^{2}) x + 2 (x^{2} + 4) x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cdot 4 x + 2 (- x^{2}) x + (2 x^{2} + 2 \cdot 4) x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cdot 4 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.5.1.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{8 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3.5.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.5.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{8 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3.5.1.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.3.5.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{8 x + 2 (- (x^{1} x^{2})) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3.5.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{8 x + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3.5.1.2.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{8 x + 2 (- x^{3}) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3.5.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{8 x - 2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3.5.1.4

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.5.1.4.1

Mova $x$ .

$\frac{8 x - 2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 4 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3.5.1.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.3.5.1.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{8 x - 2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 4 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3.5.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{8 x - 2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 4 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3.5.1.4.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{8 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot 4 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3.5.1.5

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{8 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 8 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3.5.2

Combine os termos opostos em $8 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 8 x$ .

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Etapa 1.3.5.2.1

Some $- 2 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$\frac{8 x + 0 + 8 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3.5.2.2

Some $8 x$ e $0$ .

$\frac{8 x + 8 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3.5.3

Some $8 x$ e $8 x$ .

$\frac{16 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3.6

Reordene os termos.

$\frac{16 x}{{(- x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.7

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.3.7.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{16 x}{{(- x^{2} + 2^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3.7.2

Reordene $- x^{2}$ e $2^{2}$ .

$\frac{16 x}{{(2^{2} - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3.7.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2$ e $b = x$ .

$\frac{16 x}{{((2 + x) (2 - x))}^{2}}$

Etapa 1.3.7.4

Aplique a regra do produto a $(2 + x) (2 - x)$ .

$f' (x) = \frac{16 x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{16 x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}]$

Etapa 2.2

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}]}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}]}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.2

Multiplique ${(2 + x)}^{2}$ por $1$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}]}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(2 + x)}^{2}$ e $g (x) = {(2 - x)}^{2}$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x ({(2 + x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{2}] + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 2 - x$ .

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Etapa 2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 - x$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x ({(2 + x)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x ({(2 + x)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 - x$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x ({(2 + x)}^{2} (2 (2 - x) \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6

Diferencie.

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Etapa 2.6.1

Mova $2$ para a esquerda de ${(2 + x)}^{2}$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 \cdot {(2 + x)}^{2} (2 - x) \frac{d}{d x} [2 - x] + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) \frac{d}{d x} [- x] + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) (- \frac{d}{d x} [x]) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6.6

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) \frac{d}{d x} [x] + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) \cdot 1 + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6.8

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 2 + x$ .

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Etapa 2.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 + x$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + {(2 - x)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [2 + x]))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + {(2 - x)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [2 + x]))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 + x$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + {(2 - x)}^{2} (2 (2 + x) \frac{d}{d x} [2 + x]))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.8

Diferencie.

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Etapa 2.8.1

Mova $2$ para a esquerda de ${(2 - x)}^{2}$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 \cdot {(2 - x)}^{2} (2 + x) \frac{d}{d x} [2 + x])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.8.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x) (0 + \frac{d}{d x} [x]))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.8.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x) \frac{d}{d x} [x])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.8.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x) \cdot 1)}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.8.6

Combine frações.

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Etapa 2.8.6.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.8.6.2

Combine $16$ e $\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$ .

$\frac{16 ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9

Simplifique.

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Etapa 2.9.1

Aplique a regra do produto a ${(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}$ .

$\frac{16 ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{16 ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x)) - x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{16 ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}) + 16 (- x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x))) + 16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.9.4.1

Fatore $16 (2 + x) (2 - x)$ de $16 {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} + 16 (- x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x))) + 16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))$ .

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Etapa 2.9.4.1.1

Fatore $16 (2 + x) (2 - x)$ de $16 {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x)) + 16 (- x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x))) + 16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.1.2

Fatore $16 (2 + x) (2 - x)$ de $16 (- x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x)))$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x)) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (- 2 (2 + x))) + 16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.1.3

Fatore $16 (2 + x) (2 - x)$ de $16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x)) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (- 2 (2 + x))) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (2 (2 - x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.1.4

Fatore $16 (2 + x) (2 - x)$ de $16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x)) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (- 2 (2 + x)))$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) - x (- 2 (2 + x))) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (2 (2 - x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.1.5

Fatore $16 (2 + x) (2 - x)$ de $16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) - x (- 2 (2 + x))) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (2 (2 - x)))$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) - x (- 2 (2 + x)) - x (2 (2 - x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.4.2.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) + 2 x (2 + x) - x (2 (2 - x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.4.3.1

Expanda $(2 + x) (2 - x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.4.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (2 (2 - x) + x (2 - x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.4.3.2.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.2.1.3

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + 2 \cdot x + x (- x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + 2 x - x \cdot x + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.2.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.4.3.2.1.5.1

Mova $x$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.2.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + 2 x - x^{2} + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.2.2

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 0 - x^{2} + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.2.3

Some $4$ e $0$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 2 x \cdot 2 + 2 x \cdot x - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x \cdot x - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.4.3.5.1

Mova $x$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 (x \cdot x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 2 x \cdot 2 - 2 x (- x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.7

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 x (- x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot - 1 x \cdot x)}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.4.3.9.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.4.3.9.1.1

Mova $x$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot - 1 (x \cdot x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.9.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot - 1 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.3.9.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 2 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.4

Combine os termos opostos em $4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 2 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.4.4.1

Subtraia $4 x$ de $4 x$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 2 x^{2} + 0 + 2 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.4.2

Some $4 - x^{2} + 2 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 2 x^{2} + 2 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.5

Some $- x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + x^{2} + 2 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.4.6

Some $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.5

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.5.1

Multiplique os expoentes em ${({(2 + x)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.5.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{2 \cdot 2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.5.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{4} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9.5.2

Multiplique os expoentes em ${({(2 - x)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.9.5.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{4}}$

Etapa 2.9.5.3

Cancele o fator comum de $2 + x$ e ${(2 + x)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.5.3.1

Fatore $2 + x$ de $16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})$ .

$\frac{(2 + x) ((16 (2 - x)) (4 + 3 x^{2}))}{{(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{4}}$

Etapa 2.9.5.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.5.3.2.1

Fatore $2 + x$ de ${(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{4}$ .

$\frac{(2 + x) ((16 (2 - x)) (4 + 3 x^{2}))}{(2 + x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4})}$

Etapa 2.9.5.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 + x) ((16 (2 - x)) (4 + 3 x^{2}))}{(2 + x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4})}$

Etapa 2.9.5.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(16 (2 - x)) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4}}$

Etapa 2.9.5.4

Cancele o fator comum de $2 - x$ e ${(2 - x)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.5.4.1

Fatore $2 - x$ de $16 (2 - x) (4 + 3 x^{2})$ .

$\frac{(2 - x) (16 (4 + 3 x^{2}))}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4}}$

Etapa 2.9.5.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.5.4.2.1

Fatore $2 - x$ de ${(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4}$ .

$\frac{(2 - x) (16 (4 + 3 x^{2}))}{(2 - x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3})}$

Etapa 2.9.5.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 - x) (16 (4 + 3 x^{2}))}{(2 - x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3})}$

Etapa 2.9.5.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{16 (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}}$

Etapa 3

A segunda derivada de $g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{16 (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}}$ .

$\frac{16 (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}}$