Cálculo Exemplos

$y = (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x)))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sec (x) + \tan (x)$ e $g (x) = \sec (x) - \tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) - \tan (x)] + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sec (x) - \tan (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Etapa 3.3

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \tan (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Etapa 3.5

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sec (x) + \tan (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Etapa 3.7

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Etapa 3.8

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Etapa 3.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.1

Expanda $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x))$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec (x) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.2.1.1

Multiplique $\sec (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.2.1.1.1

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.2.1.1.2

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.2.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.2.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.2.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.2.1.3

Multiplique $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.2.1.3.1

Mova $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - (\sec^{2} (x) \sec (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.2.1.3.2

Multiplique $\sec^{2} (x)$ por $\sec (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.2.1.3.2.1

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.2.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sec^{2} (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{2 + 1} + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.2.1.3.3

Some $2$ e $1$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.2.1.4

Multiplique $\tan (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

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Etapa 3.9.1.2.1.4.1

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.2.1.4.2

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.2.1.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.2.1.4.4

Some $1$ e $1$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.2.1.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.2.2

Reordene os fatores de $- \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{2} (x) \tan (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.2.3

Subtraia $\sec^{2} (x) \tan (x)$ de $\sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$0 - \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.2.4

Subtraia $\sec^{3} (x)$ de $0$ .

$- \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.3

Fatore $\sec (x)$ de $- \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.3.1

Fatore $\sec (x)$ de $- \sec^{3} (x)$ .

$\sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.3.2

Fatore $\sec (x)$ de $\tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$\sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.3.3

Fatore $\sec (x)$ de $\sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x)$ .

$\sec (x) (- \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.4

Fatore $- 1$ de $- \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) (- (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.5

Fatore $- 1$ de $\tan^{2} (x)$ .

$\sec (x) (- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.6

Fatore $- 1$ de $- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ .

$\sec (x) (- (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.7

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\sec (x) (- 1 \cdot 1) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\sec (x) \cdot - 1 + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.9

Mova $- 1$ para a esquerda de $\sec (x)$ .

$- 1 \cdot \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.10

Reescreva $- 1 \sec (x)$ como $- \sec (x)$ .

$- \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.11

Expanda $(\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Etapa 3.9.1.12

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.12.1.1

Multiplique $\sec (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.12.1.1.1

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Etapa 3.9.1.12.1.1.2

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Etapa 3.9.1.12.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Etapa 3.9.1.12.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Etapa 3.9.1.12.1.2

Multiplique $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.12.1.2.1

Multiplique $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.12.1.2.1.1

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{1} (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Etapa 3.9.1.12.1.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + {\sec (x)}^{1 + 2} - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Etapa 3.9.1.12.1.2.2

Some $1$ e $2$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Etapa 3.9.1.12.1.3

Multiplique $- \tan (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.12.1.3.1

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Etapa 3.9.1.12.1.3.2

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Etapa 3.9.1.12.1.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Etapa 3.9.1.12.1.3.4

Some $1$ e $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Etapa 3.9.1.12.2

Reordene os fatores de $- \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)$

Etapa 3.9.1.12.3

Subtraia $\sec^{2} (x) \tan (x)$ de $\sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$- \sec (x) + 0 + \sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$

Etapa 3.9.1.12.4

Some $0$ e $\sec^{3} (x)$ .

$- \sec (x) + \sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$

Etapa 3.9.1.13

Fatore $\sec (x)$ de $\sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.13.1

Fatore $\sec (x)$ de $\sec^{3} (x)$ .

$- \sec (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$

Etapa 3.9.1.13.2

Fatore $\sec (x)$ de $- \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$- \sec (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.13.3

Fatore $\sec (x)$ de $\sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))$ .

$- \sec (x) + \sec (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Etapa 3.9.1.14

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$- \sec (x) + \sec (x) \cdot 1$

Etapa 3.9.1.15

Multiplique $\sec (x)$ por $1$ .

$- \sec (x) + \sec (x)$

Etapa 3.9.2

Some $- \sec (x)$ e $\sec (x)$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 0$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 0$