Cálculo Exemplos

$y = \ln (e^{x} + x e^{x})$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (e^{x} + x e^{x}))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = e^{x} + x e^{x}$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $e^{x} + x e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $e^{x} + x e^{x}$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} + x e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.6.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Etapa 3.6.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.6.2.1

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x e^{x} + e^{x})$

Etapa 3.6.2.2

Some $e^{x}$ e $e^{x}$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (x e^{x} + 2 e^{x})$

Etapa 3.7

Simplifique.

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Etapa 3.7.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (x e^{x} + 2 e^{x})$ .

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} + x e^{x}}$

Etapa 3.7.2

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} + x e^{x}$ .

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Etapa 3.7.2.1

Multiplique por $1$ .

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} \cdot 1 + x e^{x}}$

Etapa 3.7.2.2

Fatore $e^{x}$ de $x e^{x}$ .

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} \cdot 1 + e^{x} x}$

Etapa 3.7.2.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} \cdot 1 + e^{x} x$ .

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} (1 + x)}$

Etapa 3.7.3

Multiplique $x e^{x} + 2 e^{x}$ por $\frac{1}{e^{x} (1 + x)}$ .

$\frac{x e^{x} + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x)}$

Etapa 3.7.4

Fatore $e^{x}$ de $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

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Etapa 3.7.4.1

Fatore $e^{x}$ de $x e^{x}$ .

$\frac{e^{x} x + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x)}$

Etapa 3.7.4.2

Fatore $e^{x}$ de $2 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} x + e^{x} \cdot 2}{e^{x} (1 + x)}$

Etapa 3.7.4.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ .

$\frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x)}$

Etapa 3.7.5

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 3.7.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x)}$

Etapa 3.7.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x + 2}{1 + x}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{x + 2}{1 + x}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 2}{1 + x}$