Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 9}$ , $x = 4$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = 4$ .

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Etapa 1.1

Substitua $4$ por $x$ .

$y = \sqrt{{(4)}^{2} + 9}$

Etapa 1.2

Simplifique $\sqrt{{(4)}^{2} + 9}$ .

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Etapa 1.2.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$y = \sqrt{16 + 9}$

Etapa 1.2.2

Some $16$ e $9$ .

$y = \sqrt{25}$

Etapa 1.2.3

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$y = \sqrt{5^{2}}$

Etapa 1.2.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$y = 5$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 4$ e $y = 5$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 9}$ como ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 9$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 9$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Etapa 2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Etapa 2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Etapa 2.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Etapa 2.7

Combine frações.

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Etapa 2.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Etapa 2.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Etapa 2.7.3

Mova ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Etapa 2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 2.10

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Etapa 2.11

Simplifique os termos.

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Etapa 2.11.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Etapa 2.11.2

Combine $2$ e $\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} x$

Etapa 2.11.3

Combine $\frac{2}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.11.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.11.5

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.12

Avalie a derivada em $x = 4$ .

$\frac{4}{{({(4)}^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.13

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.13.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{4}{{(16 + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.13.2

Some $16$ e $9$ .

$\frac{4}{25^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.13.3

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{4}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.13.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 2.13.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.13.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 2.13.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{5^{1}}$

Etapa 2.13.6

Avalie o expoente.

$\frac{4}{5}$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $\frac{4}{5}$ e um ponto determinado $(4, 5)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = \frac{4}{5} \cdot (x - (4))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 5 = \frac{4}{5} \cdot (x - 4)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $\frac{4}{5} \cdot (x - 4)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - 5 = 0 + 0 + \frac{4}{5} \cdot (x - 4)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 5 = \frac{4}{5} \cdot (x - 4)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 5 = \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} \cdot - 4$

Etapa 3.3.1.4

Combine $\frac{4}{5}$ e $x$ .

$y - 5 = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot - 4$

Etapa 3.3.1.5

Multiplique $\frac{4}{5} \cdot - 4$ .

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Etapa 3.3.1.5.1

Combine $\frac{4}{5}$ e $- 4$ .

$y - 5 = \frac{4 x}{5} + \frac{4 \cdot - 4}{5}$

Etapa 3.3.1.5.2

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$y - 5 = \frac{4 x}{5} + \frac{- 16}{5}$

Etapa 3.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - 5 = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5}$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5} + 5$

Etapa 3.3.2.2

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 3.3.2.3

Combine $5$ e $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5}$

Etapa 3.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 16 + 5 \cdot 5}{5}$

Etapa 3.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.2.5.1

Multiplique $5$ por $5$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 16 + 25}{5}$

Etapa 3.3.2.5.2

Some $- 16$ e $25$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{9}{5}$

Etapa 3.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{4}{5} x + \frac{9}{5}$

Etapa 4