Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 9}{x (x^{2} + 1)}$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 9}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Etapa 1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 9}{x^{1} x^{2} + x \cdot 1}$

Etapa 1.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 9}{x^{1 + 2} + x \cdot 1}$

Etapa 1.2.2

Some $1$ e $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 9}{x^{3} + x \cdot 1}$

Etapa 1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 9}{x^{3} + x}$

Etapa 2

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x^{3}$ .

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Etapa 3.1.1.1

Multiplique por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{3}} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

Etapa 3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.1.1.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

Etapa 3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

Etapa 3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

Etapa 3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

Etapa 3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{1 + \frac{x}{x^{3}}}$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{3}$ .

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Etapa 3.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{1 + \frac{x^{1}}{x^{3}}}$

Etapa 3.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{1 + \frac{x \cdot 1}{x^{3}}}$

Etapa 3.2.2.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.2.3.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}}}$

Etapa 3.2.2.3.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}}}$

Etapa 3.2.2.3.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{1 + \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 3.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 4

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0 - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 5

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0 - 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{3}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0 - 9 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 7

Avalie o limite.

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Etapa 7.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{0 - 9 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 7.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{0 - 9 \cdot 0}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 8

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0 - 9 \cdot 0}{1 + 0}$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.1

Multiplique $- 9$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{1 + 0}$

Etapa 9.1.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Etapa 9.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{0}{1}$

Etapa 9.3

Divida $0$ por $1$ .

$0$