Cálculo Exemplos

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]}$ é ${\displaystyle \frac{g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]-f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]}{{g\left(x\right)}^2}}$, em que ${\displaystyle f\left(x\right)=x^2}$ e ${\displaystyle g\left(x\right)=x^2+3}$.

Diferencie.

Eleve ${\displaystyle x}$ à potência de ${\displaystyle 1}$.

Use a regra da multiplicação de potências ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ para combinar expoentes.

Some ${\displaystyle 1}$ e ${\displaystyle 2}$.

Simplifique.

Como ${\displaystyle 6}$ é constante em relação a ${\displaystyle x}$, a derivada de ${\displaystyle \frac{6x}{{(x^2+3)}^2}}$ em relação a ${\displaystyle x}$ é ${\displaystyle 6\frac{d}{dx}\left[\frac{x}{{(x^2+3)}^2}\right]}$.

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]}$ é ${\displaystyle \frac{g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]-f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]}{{g\left(x\right)}^2}}$, em que ${\displaystyle f\left(x\right)=x}$ e ${\displaystyle g\left(x\right)={(x^2+3)}^2}$.

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ é ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, em que ${\displaystyle f\left(x\right)=x^2}$ e ${\displaystyle g\left(x\right)=x^2+3}$.

Simplifique com fatoração.

Cancele os fatores comuns.

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${\displaystyle x^2+3}$ com relação a ${\displaystyle x}$ é ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^2\right]+\frac{d}{dx}\left[3\right]}$.

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ é ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, em que ${\displaystyle n=2}$.

Como ${\displaystyle 3}$ é constante em relação a ${\displaystyle x}$, a derivada de ${\displaystyle 3}$ em relação a ${\displaystyle x}$ é ${\displaystyle 0}$.

Simplifique a expressão.

Eleve ${\displaystyle x}$ à potência de ${\displaystyle 1}$.

Eleve ${\displaystyle x}$ à potência de ${\displaystyle 1}$.

Use a regra da multiplicação de potências ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ para combinar expoentes.

Some ${\displaystyle 1}$ e ${\displaystyle 1}$.

Subtraia ${\displaystyle 4x^2}$ de ${\displaystyle x^2}$.

Combine ${\displaystyle 6}$ e ${\displaystyle \frac{-3x^2+3}{{(x^2+3)}^3}}$.

Simplifique.

Encontre a primeira derivada.

A primeira derivada de ${\displaystyle f\left(x\right)}$ com relação a ${\displaystyle x}$ é ${\displaystyle \frac{6x}{{(x^2+3)}^2}}$.

Defina a primeira derivada como igual a ${\displaystyle 0}$.

Defina o numerador como igual a zero.

Divida cada termo em ${\displaystyle 6x=0}$ por ${\displaystyle 6}$ e simplifique.

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Simplifique o numerador.

Simplifique o denominador.

Cancele o fator comum de ${\displaystyle 18}$ e ${\displaystyle 27}$.

Substitua a variável ${\displaystyle x}$ por ${\displaystyle 0}$ na expressão.

Simplifique o resultado.