Cálculo Exemplos

$y = \frac{5 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5 \cos (x)}{1 + \sin (x)})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.4

Diferencie.

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Etapa 3.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.5

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.6

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.7

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.9

Some $1$ e $1$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.10

Combine $5$ e $\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ .

$\frac{5 ((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.11

Simplifique.

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Etapa 3.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 (1 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 (1 (- \sin (x))) + 5 (\sin (x) (- \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.11.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.11.3.1.1

Multiplique $- \sin (x)$ por $1$ .

$\frac{5 (- \sin (x)) + 5 (\sin (x) (- \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (\sin (x) (- \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- \sin (x) \sin (x)) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.3.1.4

Multiplique $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 3.11.3.1.4.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- (\sin^{1} (x) \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.3.1.4.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.3.1.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- {\sin (x)}^{1 + 1}) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.3.1.4.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- \sin^{2} (x)) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 \sin^{2} (x) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 \sin^{2} (x) - 5 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.3.2

Fatore $- 5$ de $- 5 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 (\sin^{2} (x)) - 5 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.3.3

Fatore $- 5$ de $- 5 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 (\sin^{2} (x)) - 5 (\cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.3.4

Fatore $- 5$ de $- 5 (\sin^{2} (x)) - 5 (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.3.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 \cdot 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.3.6

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$\frac{- 5 \sin (x) - 5}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.4

Reordene os termos.

$\frac{- 5 - 5 \sin (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.5

Fatore $- 5$ de $- 5 - 5 \sin (x)$ .

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Etapa 3.11.5.1

Fatore $- 5$ de $- 5$ .

$\frac{- 5 (1) - 5 \sin (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.5.2

Fatore $- 5$ de $- 5 \sin (x)$ .

$\frac{- 5 (1) - 5 (\sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.5.3

Fatore $- 5$ de $- 5 (1) - 5 (\sin (x))$ .

$\frac{- 5 (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.6

Cancele o fator comum de $1 + \sin (x)$ e ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

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Etapa 3.11.6.1

Fatore $1 + \sin (x)$ de $- 5 (1 + \sin (x))$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 5}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.11.6.2.1

Fatore $1 + \sin (x)$ de ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 5}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Etapa 3.11.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 5}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Etapa 3.11.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 5}{1 + \sin (x)}$

Etapa 3.11.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5}{1 + \sin (x)}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - \frac{5}{1 + \sin (x)}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5}{1 + \sin (x)}$