Cálculo Exemplos

$\sqrt{1 - t^{2}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 - t^{2}}$ como ${(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [{(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = 1 - t^{2}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - t^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - t^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(1 - t^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 - t^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 - t^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Etapa 7

Combine frações.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(1 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Etapa 7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(1 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Etapa 7.3

Mova ${(1 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Etapa 8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - t^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Etapa 9

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Etapa 10

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Etapa 11

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t^{2}$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 t))$

Etapa 13

Simplifique os termos.

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Etapa 13.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 t)$

Etapa 13.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} t$

Etapa 13.3

Combine $\frac{- 2}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $t$ .

$\frac{- 2 t}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 13.4

Fatore $2$ de $- 2 t$ .

$\frac{2 (- t)}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 14.1

Fatore $2$ de $2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- t)}{2 ({(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 14.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- t)}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- t}{{(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{t}{{(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$