Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} \frac{30}{6 x^{2} + 7 x + 1} d x$

Etapa 1

Como $30$ é constante com relação a $x$ , mova $30$ para fora da integral.

$30 \int_{0}^{1} \frac{1}{6 x^{2} + 7 x + 1} d x$

Etapa 2

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 2.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 2.1.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 6 \cdot 1 = 6$ e cuja soma é $b = 7$ .

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Etapa 2.1.1.1.1

Fatore $7$ de $7 x$ .

$\frac{1}{6 x^{2} + 7 (x) + 1}$

Etapa 2.1.1.1.2

Reescreva $7$ como $1$ mais $6$

$\frac{1}{6 x^{2} + (1 + 6) x + 1}$

Etapa 2.1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{6 x^{2} + 1 x + 6 x + 1}$

Etapa 2.1.1.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{1}{6 x^{2} + x + 6 x + 1}$

Etapa 2.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{1}{(6 x^{2} + x) + 6 x + 1}$

Etapa 2.1.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{1}{x (6 x + 1) + 1 (6 x + 1)}$

Etapa 2.1.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $6 x + 1$ .

$\frac{1}{(6 x + 1) (x + 1)}$

Etapa 2.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{6 x + 1}$

Etapa 2.1.3

$\frac{A}{6 x + 1} + \frac{B}{x + 1}$

Etapa 2.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(6 x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{1 (6 x + 1) (x + 1)}{(6 x + 1) (x + 1)} = \frac{(A) (6 x + 1) (x + 1)}{6 x + 1} + \frac{(B) (6 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 2.1.5

Cancele o fator comum de $6 x + 1$ .

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Etapa 2.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (6 x + 1) (x + 1)}{(6 x + 1) (x + 1)} = \frac{(A) (6 x + 1) (x + 1)}{6 x + 1} + \frac{(B) (6 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 2.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (6 x + 1) (x + 1)}{6 x + 1} + \frac{(B) (6 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 2.1.6

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 2.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (6 x + 1) (x + 1)}{6 x + 1} + \frac{(B) (6 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 2.1.6.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{(A) (6 x + 1) (x + 1)}{6 x + 1} + \frac{(B) (6 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 2.1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.7.1

Cancele o fator comum de $6 x + 1$ .

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Etapa 2.1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (6 x + 1) (x + 1)}{6 x + 1} + \frac{(B) (6 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 2.1.7.1.2

Divida $(A) (x + 1)$ por $1$ .

$1 = (A) (x + 1) + \frac{(B) (6 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 2.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (6 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 2.1.7.3

Multiplique $A$ por $1$ .

$1 = A x + A + \frac{(B) (6 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 2.1.7.4

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 2.1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$1 = A x + A + \frac{(B) (6 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 2.1.7.4.2

Divida $(B) (6 x + 1)$ por $1$ .

$1 = A x + A + (B) (6 x + 1)$

Etapa 2.1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x + A + B (6 x) + B \cdot 1$

Etapa 2.1.7.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = A x + A + 6 B x + B \cdot 1$

Etapa 2.1.7.7

Multiplique $B$ por $1$ .

$1 = A x + A + 6 B x + B$

Etapa 2.1.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.8.1

Mova $B$ .

$1 = A x + A + 6 x B + B$

Etapa 2.1.8.2

Mova $A$ .

$1 = A x + 6 x B + A + B$

Etapa 2.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + 6 B$

Etapa 2.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B$

Etapa 2.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + 6 B$

$1 = A + B$

$0 = A + 6 B$

$1 = A + B$

Etapa 2.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 2.3.1

Resolva $A$ em $0 = A + 6 B$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva a equação como $A + 6 B = 0$ .

$A + 6 B = 0$

$1 = A + B$

Etapa 2.3.1.2

Subtraia $6 B$ dos dois lados da equação.

$A = - 6 B$

$1 = A + B$

$A = - 6 B$

$1 = A + B$

Etapa 2.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- 6 B$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $1 = A + B$ por $- 6 B$ .

$1 = (- 6 B) + B$

$A = - 6 B$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.2.2.1

Some $- 6 B$ e $B$ .

$1 = - 5 B$

$A = - 6 B$

$1 = - 5 B$

$A = - 6 B$

$1 = - 5 B$

$A = - 6 B$

Etapa 2.3.3

Resolva $B$ em $1 = - 5 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Reescreva a equação como $- 5 B = 1$ .

$- 5 B = 1$

$A = - 6 B$

Etapa 2.3.3.2

Divida cada termo em $- 5 B = 1$ por $- 5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Divida cada termo em $- 5 B = 1$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 B}{- 5} = \frac{1}{- 5}$

$A = - 6 B$

Etapa 2.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 5 B}{- 5} = \frac{1}{- 5}$

$A = - 6 B$

Etapa 2.3.3.2.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{- 5}$

$A = - 6 B$

$B = \frac{1}{- 5}$

$A = - 6 B$

$B = \frac{1}{- 5}$

$A = - 6 B$

Etapa 2.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$B = - \frac{1}{5}$

$A = - 6 B$

$B = - \frac{1}{5}$

$A = - 6 B$

$B = - \frac{1}{5}$

$A = - 6 B$

$B = - \frac{1}{5}$

$A = - 6 B$

Etapa 2.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $- \frac{1}{5}$ em cada equação.

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Etapa 2.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = - 6 B$ por $- \frac{1}{5}$ .

$A = - 6 (- \frac{1}{5})$

$B = - \frac{1}{5}$

Etapa 2.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.1

Multiplique $- 6 (- \frac{1}{5})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$A = 6 (\frac{1}{5})$

$B = - \frac{1}{5}$

Etapa 2.3.4.2.1.2

Combine $6$ e $\frac{1}{5}$ .

$A = \frac{6}{5}$

$B = - \frac{1}{5}$

$A = \frac{6}{5}$

$B = - \frac{1}{5}$

$A = \frac{6}{5}$

$B = - \frac{1}{5}$

$A = \frac{6}{5}$

$B = - \frac{1}{5}$

Etapa 2.3.5

Liste todas as soluções.

$A = \frac{6}{5}, B = - \frac{1}{5}$

Etapa 2.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{6 x + 1} + \frac{B}{x + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{6}{5}}{6 x + 1} + \frac{- \frac{1}{5}}{x + 1}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{6}{5} \cdot \frac{1}{6 x + 1} + \frac{- \frac{1}{5}}{x + 1}$

Etapa 2.5.2

Multiplique $\frac{6}{5}$ por $\frac{1}{6 x + 1}$ .

$\frac{6}{5 (6 x + 1)} + \frac{- \frac{1}{5}}{x + 1}$

Etapa 2.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{6}{5 (6 x + 1)} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Etapa 2.5.4

Multiplique $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\frac{6}{5 (6 x + 1)} - \frac{1}{(x + 1) \cdot 5}$

Etapa 2.5.5

Mova $5$ para a esquerda de $x + 1$ .

$30 \int_{0}^{1} \frac{6}{5 (6 x + 1)} - \frac{1}{5 (x + 1)} d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$30 (\int_{0}^{1} \frac{6}{5 (6 x + 1)} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{5 (x + 1)} d x)$

Etapa 4

Como $\frac{6}{5}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{6}{5}$ para fora da integral.

$30 (\frac{6}{5} \int_{0}^{1} \frac{1}{6 x + 1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{5 (x + 1)} d x)$

Etapa 5

Deixe $u_{1} = 6 x + 1$ . Depois, $d u_{1} = 6 d x$ , então, $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u_{1} = 6 x + 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $6 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 1]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 + 0$

Etapa 5.1.4.2

Some $6$ e $0$ .

$6$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{1} = 6 x + 1$ .

$u_{lower} = 6 \cdot 0 + 1$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Multiplique $6$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 5.3.2

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{1} = 6 x + 1$ .

$u_{upper} = 6 \cdot 1 + 1$

Etapa 5.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Multiplique $6$ por $1$ .

$u_{upper} = 6 + 1$

Etapa 5.5.2

Some $6$ e $1$ .

$u_{upper} = 7$

Etapa 5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 7$

Etapa 5.7

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$30 (\frac{6}{5} \int_{1}^{7} \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{5 (x + 1)} d x)$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{6}$ .

$30 (\frac{6}{5} \int_{1}^{7} \frac{1}{u_{1} \cdot 6} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{5 (x + 1)} d x)$

Etapa 6.2

Mova $6$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$30 (\frac{6}{5} \int_{1}^{7} \frac{1}{6 u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{5 (x + 1)} d x)$

Etapa 7

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$30 (\frac{6}{5} (\frac{1}{6} \int_{1}^{7} \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int_{0}^{1} - \frac{1}{5 (x + 1)} d x)$

Etapa 8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $\frac{6}{5}$ .

$30 (\frac{6}{6 \cdot 5} \int_{1}^{7} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{5 (x + 1)} d x)$

Etapa 8.2

Multiplique $6$ por $5$ .

$30 (\frac{6}{30} \int_{1}^{7} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{5 (x + 1)} d x)$

Etapa 8.3

Cancele o fator comum de $6$ e $30$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Fatore $6$ de $6$ .

$30 (\frac{6 (1)}{30} \int_{1}^{7} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{5 (x + 1)} d x)$

Etapa 8.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Fatore $6$ de $30$ .

$30 (\frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 5} \int_{1}^{7} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{5 (x + 1)} d x)$

Etapa 8.3.2.2

Cancele o fator comum.

$30 (\frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 5} \int_{1}^{7} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{5 (x + 1)} d x)$

Etapa 8.3.2.3

Reescreva a expressão.

$30 (\frac{1}{5} \int_{1}^{7} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{5 (x + 1)} d x)$

Etapa 9

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$30 (\frac{1}{5} \ln (| u_{1} |)]_{1}^{7} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{5 (x + 1)} d x)$

Etapa 10

Combine $\frac{1}{5}$ e $\ln (| u_{1} |)]_{1}^{7}$ .

$30 (\frac{\ln (| u_{1} |)]_{1}^{7}}{5} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{5 (x + 1)} d x)$

Etapa 11

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$30 (\frac{\ln (| u_{1} |)]_{1}^{7}}{5} - \int_{0}^{1} \frac{1}{5 (x + 1)} d x)$

Etapa 12

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$30 (\frac{\ln (| u_{1} |)]_{1}^{7}}{5} - (\frac{1}{5} \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x))$

Etapa 13

Deixe $u_{2} = x + 1$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Deixe $u_{2} = x + 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 13.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 13.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 13.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 13.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 13.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{2} = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 13.3

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 13.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{2} = x + 1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Etapa 13.5

Some $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Etapa 13.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Etapa 13.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$30 (\frac{\ln (| u_{1} |)]_{1}^{7}}{5} - \frac{1}{5} \int_{1}^{2} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 14

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$30 (\frac{\ln (| u_{1} |)]_{1}^{7}}{5} - \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |)]_{1}^{2})$

Etapa 15

Combine $\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}$ e $\frac{1}{5}$ .

$30 (\frac{\ln (| u_{1} |)]_{1}^{7}}{5} - \frac{\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}}{5})$

Etapa 16

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Avalie $\ln (| u_{1} |)$ em $7$ e em $1$ .

$30 (\frac{(\ln (| 7 |)) - \ln (| 1 |)}{5} - \frac{\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}}{5})$

Etapa 16.2

Avalie $\ln (| u_{2} |)$ em $2$ e em $1$ .

$30 (\frac{(\ln (| 7 |)) - \ln (| 1 |)}{5} - \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{5})$

Etapa 16.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$30 \frac{\ln (| 7 |) - \ln (| 1 |) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{5}$

Etapa 16.3.2

Combine $30$ e $\frac{\ln (| 7 |) - \ln (| 1 |) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{5}$ .

$\frac{30 (\ln (| 7 |) - \ln (| 1 |) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))}{5}$

Etapa 16.3.3

Cancele o fator comum de $30$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.3.3.1

Fatore $5$ de $30 (\ln (| 7 |) - \ln (| 1 |) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))$ .

$\frac{5 (6 (\ln (| 7 |) - \ln (| 1 |) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))))}{5}$

Etapa 16.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.3.3.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{5 (6 (\ln (| 7 |) - \ln (| 1 |) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))))}{5 (1)}$

Etapa 16.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (6 (\ln (| 7 |) - \ln (| 1 |) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))))}{5 \cdot 1}$

Etapa 16.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6 (\ln (| 7 |) - \ln (| 1 |) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))}{1}$

Etapa 16.3.3.2.4

Divida $6 (\ln (| 7 |) - \ln (| 1 |) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))$ por $1$ .

$6 (\ln (| 7 |) - \ln (| 1 |) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))$

Etapa 17

Simplifique.

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Etapa 17.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 (\ln (\frac{| 7 |}{| 1 |}) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))$

Etapa 17.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 (\ln (\frac{| 7 |}{| 1 |}) - \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}))$

Etapa 17.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 \ln (\frac{\frac{| 7 |}{| 1 |}}{\frac{| 2 |}{| 1 |}})$

Etapa 17.4

Reescreva $\frac{\frac{| 7 |}{| 1 |}}{\frac{| 2 |}{| 1 |}}$ como um produto.

$6 \ln (\frac{| 7 |}{| 1 |} \cdot \frac{1}{\frac{| 2 |}{| 1 |}})$

Etapa 17.5

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{| 2 |}{| 1 |}$ .

$6 \ln (\frac{| 7 |}{| 1 |} (1 \frac{| 1 |}{| 2 |}))$

Etapa 17.6

Multiplique $\frac{| 1 |}{| 2 |}$ por $1$ .

$6 \ln (\frac{| 7 |}{| 1 |} \cdot \frac{| 1 |}{| 2 |})$

Etapa 17.7

Multiplique $\frac{| 7 |}{| 1 |}$ por $\frac{| 1 |}{| 2 |}$ .

$6 \ln (\frac{| 7 | | 1 |}{| 1 | | 2 |})$

Etapa 17.8

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$6 \ln (\frac{| 7 \cdot 1 |}{| 1 | | 2 |})$

Etapa 17.9

Multiplique $7$ por $1$ .

$6 \ln (\frac{| 7 |}{| 1 | | 2 |})$

Etapa 17.10

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$6 \ln (\frac{| 7 |}{| 1 \cdot 2 |})$

Etapa 17.11

Multiplique $2$ por $1$ .

$6 \ln (\frac{| 7 |}{| 2 |})$

Etapa 18

Simplifique.

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Etapa 18.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $7$ é $7$ .

$6 \ln (\frac{7}{| 2 |})$

Etapa 18.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$6 \ln (\frac{7}{2})$

Etapa 19

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$6 \ln (\frac{7}{2})$

Forma decimal:

$7.51657781 \dots$

Etapa 20