Cálculo Exemplos

$\frac{(\sin (x))}{e^{x}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Etapa 2

Multiplique os expoentes em ${(e^{x})}^{2}$ .

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Etapa 2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{e^{x} \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} \cos (x) - \sin (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reordene os fatores em $e^{x} \cos (x) - \sin (x) e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x)}{e^{2 x}}$

Etapa 5.2

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x)$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} \cos (x)$ .

$\frac{e^{x} (\cos (x)) - e^{x} \sin (x)}{e^{2 x}}$

Etapa 5.2.2

Fatore $e^{x}$ de $- e^{x} \sin (x)$ .

$\frac{e^{x} (\cos (x)) + e^{x} (- \sin (x))}{e^{2 x}}$

Etapa 5.2.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (\cos (x)) + e^{x} (- \sin (x))$ .

$\frac{e^{x} (\cos (x) - \sin (x))}{e^{2 x}}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $e^{x}$ e $e^{2 x}$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $e^{2 x}$ de $e^{x} (\cos (x) - \sin (x))$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (\cos (x) - \sin (x)))}{e^{2 x}}$

Etapa 5.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (\cos (x) - \sin (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (\cos (x) - \sin (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Etapa 5.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))}{1}$

Etapa 5.3.2.4

Divida $e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))$ por $1$ .

$e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))$

Etapa 5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- x} \cos (x) + e^{- x} (- \sin (x))$

Etapa 5.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$