Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} {(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}}$ como $e^{\ln ({(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}})$ movendo $\frac{2}{x}$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{2}{x} \ln (e^{3 x} + 5)}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} \ln (e^{3 x} + 5)}$

Etapa 2.2

Combine $\frac{2}{x}$ e $\ln (e^{3 x} + 5)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2 \ln (e^{3 x} + 5)}{x}}$

Etapa 2.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{3 x} + 5)}{x}}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$e^{2 \frac{lim_{x \to \infty} \ln (e^{3 x} + 5)}{lim_{x \to \infty} x}}$

Etapa 3.1.2

À medida que o logaritmo se aproxima do infinito, o valor chega a $\infty$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}}$

Etapa 3.1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

Etapa 3.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

Etapa 3.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{3 x} + 5)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x} + 5)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x} + 5)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = e^{3 x} + 5$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $e^{3 x} + 5$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.2.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $e^{3 x} + 5$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{3 x} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 3.3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.7

Multiplique $3$ por $1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.8

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.9

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (3 e^{3 x} + 0)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.10

Some $3 e^{3 x}$ e $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} \cdot 3 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.11

Combine $3$ e $\frac{1}{e^{3 x} + 5}$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{e^{3 x} + 5} e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.12

Combine $\frac{3}{e^{3 x} + 5}$ e $e^{3 x}$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}}{1}}$

Etapa 3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5} \cdot 1}$

Etapa 3.5

Multiplique $\frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}$ por $1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}}$

Etapa 4

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}}$

Etapa 5

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$e^{2 \cdot 3 \frac{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + 5}}$

Etapa 5.1.2

Como o expoente $3 x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{3 x}$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + 5}}$

Etapa 5.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 5.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + lim_{x \to \infty} 5}}$

Etapa 5.1.3.2

Como o expoente $3 x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{3 x}$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 5}}$

Etapa 5.1.3.3

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty + 5}}$

Etapa 5.1.3.4

Infinito mais ou menos um número é infinito.

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}}$

Etapa 5.1.3.5

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}}$

Etapa 5.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}}$

Etapa 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 5} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}$

Etapa 5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Etapa 5.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Etapa 5.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Etapa 5.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Etapa 5.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Etapa 5.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Etapa 5.3.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Etapa 5.3.6

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Etapa 5.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{3 x} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [5]}}$

Etapa 5.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

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Etapa 5.3.8.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 5.3.8.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]}}$

Etapa 5.3.8.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]}}$

Etapa 5.3.8.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]}}$

Etapa 5.3.8.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]}}$

Etapa 5.3.8.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]}}$

Etapa 5.3.8.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [5]}}$

Etapa 5.3.8.5

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [5]}}$

Etapa 5.3.9

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} + 0}}$

Etapa 5.3.10

Some $3 e^{3 x}$ e $0$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x}}}$

Etapa 5.4

Reduza.

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Etapa 5.4.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.4.1.1

Cancele o fator comum.

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x}}}$

Etapa 5.4.1.2

Reescreva a expressão.

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}}$

Etapa 5.4.2

Cancele o fator comum de $e^{3 x}$ .

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}}$

Etapa 5.4.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{2 \cdot 3 \cdot 1}$

Etapa 7

Multiplique $2 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$e^{6 \cdot 1}$

Etapa 7.2

Multiplique $6$ por $1$ .

$e^{6}$