Cálculo Exemplos

$y = - 7 x (8^{- 2 x})$

Etapa 1

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x (8^{- 2 x})$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x \cdot (8^{- 2 x})]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [x \cdot (8^{- 2 x})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 8^{- 2 x}$ .

$- 7 (x \frac{d}{d x} [8^{- 2 x}] + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = 8^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 2 x$ .

$- 7 (x (\frac{d}{d u} [8^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $8$ .

$- 7 (x (8^{u} \ln (8) \frac{d}{d x} [- 2 x]) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 x$ .

$- 7 (x (8^{- 2 x} \ln (8) \frac{d}{d x} [- 2 x]) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 (x (8^{- 2 x} \ln (8) (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 7 (x (8^{- 2 x} \ln (8) (- 2 \cdot 1)) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3

Simplifique com fatoração.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 7 (x (8^{- 2 x} \ln (8) \cdot - 2) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $8^{- 2 x} \ln (8)$ .

$- 7 (x (- 2 \cdot (8^{- 2 x} \ln (8))) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3.3

Fatore o negativo.

$- 7 (x (- (2 \cdot 8^{- 2 x}) \ln (8)) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.4.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$- 7 (x (- (2 \cdot {(2^{3})}^{- 2 x}) \ln (8)) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3.4.2

Multiplique os expoentes em ${(2^{3})}^{- 2 x}$ .

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Etapa 4.3.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 (x (- (2 \cdot 2^{3 (- 2 x)}) \ln (8)) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3.4.2.2

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$- 7 (x (- (2 \cdot 2^{- 6 x}) \ln (8)) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 7 (x (- 2^{1 - 6 x} \ln (8)) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 7 (x (- 2^{1 - 6 x} \ln (8)) + 8^{- 2 x} \cdot 1)$

Etapa 7

Multiplique $8^{- 2 x}$ por $1$ .

$- 7 (x (- 2^{1 - 6 x} \ln (8)) + 8^{- 2 x})$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 7 (x (- 2^{1 - 6 x} \ln (8))) - 7 \cdot 8^{- 2 x}$

Etapa 8.2

Multiplique $- 1$ por $- 7$ .

$7 x (2^{1 - 6 x} \ln (8)) - 7 \cdot 8^{- 2 x}$

Etapa 8.3

Reordene os termos.

$7 \cdot 2^{1 - 6 x} x \ln (8) - 7 \cdot 8^{- 2 x}$

Etapa 8.4

Reordene os fatores em $7 \cdot 2^{1 - 6 x} x \ln (8) - 7 \cdot 8^{- 2 x}$ .

$7 x \cdot 2^{1 - 6 x} \ln (8) - 7 \cdot 8^{- 2 x}$