Cálculo Exemplos

$y = x^{3} \sqrt{x + 1}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x^{3} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.7

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{3} (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.7.3

Mova ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{3} (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.7.4

Combine $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{3}$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.10

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.11

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.11.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.11.2

Multiplique $\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})$

Etapa 4.13

Mova $3$ para a esquerda de ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 3 \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$

Etapa 4.14

Combine $\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ usando um denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.14.1

Mova ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.14.2

Para escrever $3 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.14.3

Combine $3 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.14.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.15

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.16

Multiplique ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.16.1

Mova ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.16.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.16.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.16.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.16.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} {(x + 1)}^{1}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.17

Simplifique $6 x^{2} {(x + 1)}^{1}$ .

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} (x + 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.18

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.18.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.18.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.18.2.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.18.2.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{x^{3} + 6 (x \cdot x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.18.2.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.18.2.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} + 6 (x^{1} x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.18.2.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3} + 6 x^{1 + 2} + 6 x^{2} \cdot 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.18.2.1.1.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{x^{3} + 6 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.18.2.1.2

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{x^{3} + 6 x^{3} + 6 x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.18.2.2

Some $x^{3}$ e $6 x^{3}$ .

$\frac{7 x^{3} + 6 x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.18.3

Fatore $x^{2}$ de $7 x^{3} + 6 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.18.3.1

Fatore $x^{2}$ de $7 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (7 x) + 6 x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.18.3.2

Fatore $x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (7 x) + x^{2} \cdot 6}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.18.3.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (7 x) + x^{2} \cdot 6$ .

$\frac{x^{2} (7 x + 6)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{x^{2} (7 x + 6)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (7 x + 6)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$