Cálculo Exemplos

$x^{4} (x + y) = y^{2} (3 x - y)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (x^{4} (x + y)) = \frac{d}{d y} (y^{2} (3 x - y))$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = x^{4}$ e $g (y) = x + y$ .

$x^{4} \frac{d}{d y} [x + y] + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x^{4} (x' + \frac{d}{d y} [y]) + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{4}$ e $g (y) = x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x$ .

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) (4 u^{3} \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) (4 x^{3} \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 2.6

Mova $4$ para a esquerda de $x + y$ .

$x^{4} (x' + 1) + 4 \cdot (x + y) x^{3} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 2.7

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x^{4} (x' + 1) + 4 (x + y) x^{3} x'$

Etapa 2.8

Simplifique.

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Etapa 2.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + 4 (x + y) x^{3} x'$

Etapa 2.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + (4 x + 4 y) x^{3} x'$

Etapa 2.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + (4 x \cdot x^{3} + 4 y x^{3}) x'$

Etapa 2.8.4

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + 4 x \cdot x^{3} x' + 4 y x^{3} x'$

Etapa 2.8.5

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.5.1

Multiplique $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} x' + x^{4} + 4 x \cdot x^{3} x' + 4 y x^{3} x'$

Etapa 2.8.5.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.5.2.1

Mova $x^{3}$ .

$x^{4} x' + x^{4} + 4 (x^{3} x) x' + 4 y x^{3} x'$

Etapa 2.8.5.2.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.5.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{4} x' + x^{4} + 4 (x^{3} x^{1}) x' + 4 y x^{3} x'$

Etapa 2.8.5.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{4} x' + x^{4} + 4 x^{3 + 1} x' + 4 y x^{3} x'$

Etapa 2.8.5.2.3

Some $3$ e $1$ .

$x^{4} x' + x^{4} + 4 x^{4} x' + 4 y x^{3} x'$

Etapa 2.8.5.3

Some $x^{4} x'$ e $4 x^{4} x'$ .

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 y x^{3} x'$

Etapa 2.8.6

Reordene os termos.

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = 3 x - y$ .

$y^{2} \frac{d}{d y} [3 x - y] + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 3.2.2

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 x$ em relação a $y$ é $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$y^{2} (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$y^{2} (3 x' + \frac{d}{d y} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$y^{2} (3 x' - \frac{d}{d y} [y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y^{2} (3 x' - 1 \cdot 1) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 3.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y^{2} (3 x' - 1) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y^{2} (3 x' - 1) + (3 x - y) (2 y)$

Etapa 3.8

Mova $2$ para a esquerda de $3 x - y$ .

$y^{2} (3 x' - 1) + 2 \cdot (3 x - y) y$

Etapa 3.9

Simplifique.

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Etapa 3.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} (3 x') + y^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x - y) y$

Etapa 3.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} (3 x') + y^{2} \cdot - 1 + (2 (3 x) + 2 (- y)) y$

Etapa 3.9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} (3 x') + y^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

Etapa 3.9.4

Combine os termos.

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Etapa 3.9.4.1

Mova $3$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$3 \cdot y^{2} x' + y^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

Etapa 3.9.4.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$3 y^{2} x' - 1 \cdot y^{2} + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

Etapa 3.9.4.3

Reescreva $- 1 y^{2}$ como $- y^{2}$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

Etapa 3.9.4.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y + 2 (- y) y$

Etapa 3.9.4.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 y \cdot y$

Etapa 3.9.4.6

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 (y^{1} y)$

Etapa 3.9.4.7

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 (y^{1} y^{1})$

Etapa 3.9.4.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 y^{1 + 1}$

Etapa 3.9.4.9

Some $1$ e $1$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 y^{2}$

Etapa 3.9.4.10

Subtraia $2 y^{2}$ de $- y^{2}$ .

$3 y^{2} x' - 3 y^{2} + 6 x y$

Etapa 3.9.5

Reordene os termos.

$- 3 y^{2} + 3 y^{2} x' + 6 x y$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' = - 3 y^{2} + 3 y^{2} x' + 6 x y$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $3 y^{2} x'$ dos dois lados da equação.

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y$

Etapa 5.2

Subtraia $x^{4}$ dos dois lados da equação.

$5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Etapa 5.3

Fatore $x'$ de $5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $x'$ de $5 x^{4} x'$ .

$x' (5 x^{4}) + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Etapa 5.3.2

Fatore $x'$ de $4 x^{3} y x'$ .

$x' (5 x^{4}) + x' (4 x^{3} y) - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Etapa 5.3.3

Fatore $x'$ de $- 3 y^{2} x'$ .

$x' (5 x^{4}) + x' (4 x^{3} y) + x' (- 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Etapa 5.3.4

Fatore $x'$ de $x' (5 x^{4}) + x' (4 x^{3} y)$ .

$x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y) + x' (- 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Etapa 5.3.5

Fatore $x'$ de $x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y) + x' (- 3 y^{2})$ .

$x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ por $5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ por $5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ .

$\frac{x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} = \frac{- 3 y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{- x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- 3 y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{- x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = - \frac{(3) y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{- x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Etapa 5.4.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = - \frac{3 y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} - \frac{x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Etapa 5.4.3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 5.4.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x' = \frac{- 3 y^{2} + 6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} - \frac{x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Etapa 5.4.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x' = \frac{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Etapa 5.4.3.2.3

Fatore $- 1$ de $- 3 y^{2}$ .

$x' = \frac{- (3 y^{2}) + 6 x y - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Etapa 5.4.3.2.4

Fatore $- 1$ de $6 x y$ .

$x' = \frac{- (3 y^{2}) - (- 6 x y) - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Etapa 5.4.3.2.5

Fatore $- 1$ de $- (3 y^{2}) - (- 6 x y)$ .

$x' = \frac{- (3 y^{2} - 6 x y) - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Etapa 5.4.3.2.6

Fatore $- 1$ de $- x^{4}$ .

$x' = \frac{- (3 y^{2} - 6 x y) - (x^{4})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Etapa 5.4.3.2.7

Fatore $- 1$ de $- (3 y^{2} - 6 x y) - (x^{4})$ .

$x' = \frac{- (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Etapa 5.4.3.2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.4.3.2.8.1

Reescreva $- (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})$ como $- 1 (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})$ .

$x' = \frac{- 1 (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Etapa 5.4.3.2.8.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = - \frac{3 y^{2} - 6 x y + x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{3 y^{2} - 6 x y + x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$