Cálculo Exemplos

$\int 4 x^{3} (4 x^{4} + 5) d x$

Etapa 1

Deixe $u = 4 x^{4} + 5$ . Depois, $d u = 16 x^{3} d x$ , então, $\frac{1}{16} d u = x^{3} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 4 x^{4} + 5$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $4 x^{4} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4} + 5]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{4} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{4}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$16 x^{3} + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $16 x^{3}$ e $0$ .

$16 x^{3}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int 4 u \frac{1}{16} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{16}$ e $4$ .

$\int \frac{4}{16} u d u$

Etapa 2.2

Combine $\frac{4}{16}$ e $u$ .

$\int \frac{4 u}{16} d u$

Etapa 2.3

Cancele o fator comum de $4$ e $16$ .

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Etapa 2.3.1

Fatore $4$ de $4 u$ .

$\int \frac{4 (u)}{16} d u$

Etapa 2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$\int \frac{4 u}{4 \cdot 4} d u$

Etapa 2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{4 u}{4 \cdot 4} d u$

Etapa 2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{u}{4} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int u d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva $\frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ como $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 2} u^{2} + C$

Etapa 5.2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{1}{8} u^{2} + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x^{4} + 5$ .

$\frac{1}{8} {(4 x^{4} + 5)}^{2} + C$