Cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{5}}{10} + \frac{1}{6 x^{3}}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{5}}{10} + \frac{1}{6 x^{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}]$ .

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Etapa 2.1

Como $\frac{1}{10}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{5}}{10}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Etapa 2.3

Combine $5$ e $\frac{1}{10}$ .

$\frac{5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Etapa 2.4

Combine $\frac{5}{10}$ e $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Etapa 2.5

Cancele o fator comum de $5$ e $10$ .

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Etapa 2.5.1

Fatore $5$ de $5 x^{4}$ .

$\frac{5 (x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Etapa 2.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.5.2.1

Fatore $5$ de $10$ .

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Etapa 2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Etapa 2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$ .

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Etapa 3.1

Como $\frac{1}{6}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{6 x^{3}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Etapa 3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Etapa 3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Etapa 3.5.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Etapa 3.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Etapa 3.7

Multiplique $x^{- 6}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.7.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Etapa 3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- 3 x^{2 - 6})$

Etapa 3.7.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- 3 x^{- 4})$

Etapa 3.8

Combine $- 3$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{- 3}{6} x^{- 4}$

Etapa 3.9

Combine $\frac{- 3}{6}$ e $x^{- 4}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{- 3 x^{- 4}}{6}$

Etapa 3.10

Mova $x^{- 4}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{- 3}{6 x^{4}}$

Etapa 3.11

Cancele o fator comum de $- 3$ e $6$ .

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Etapa 3.11.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{3 (- 1)}{6 x^{4}}$

Etapa 3.11.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.11.2.1

Fatore $3$ de $6 x^{4}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{3 (- 1)}{3 (2 x^{4})}$

Etapa 3.11.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (2 x^{4})}$

Etapa 3.11.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2 x^{4}}$

Etapa 3.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{x^{4}}{2} - \frac{1}{2 x^{4}}$