Cálculo Exemplos

$\int_{e}^{\infty} \frac{1}{x \ln^{2} (x)} d x$

Etapa 1

Escreva a integral como um limite à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{e}^{t} \frac{1}{x \ln^{2} (x)} d x$

Etapa 2

Deixe $u = \ln (x)$ . Depois, $d u = \frac{1}{x} d x$ , então, $x d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = \ln (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (e)$

Etapa 2.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (t)$

Etapa 2.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \ln (t)$

Etapa 2.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Etapa 3.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} u^{2 \cdot - 1} d u$

Etapa 3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} u^{- 2} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} - u^{- 1}]_{1}^{\ln (t)}$

Etapa 5

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.1

Avalie $- u^{- 1}$ em $\ln (t)$ e em $1$ .

$lim_{t \to \infty} (- \ln^{- 1} (t)) + 1^{- 1}$

Etapa 5.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$lim_{t \to \infty} - \ln^{- 1} (t) + 1$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$- lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (t) + lim_{t \to \infty} 1$

Etapa 6.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{1}{\ln (t)} + lim_{t \to \infty} 1$

Etapa 6.3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{\ln (t)}$ se aproxima de $0$ .

$- 0 + lim_{t \to \infty} 1$

Etapa 6.4

Avalie o limite.

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Etapa 6.4.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$0 + 1$

Etapa 6.4.2

Some $0$ e $1$ .

$1$