Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{3}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y^{3}}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $y^{3}$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} (\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y^{3}})$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Combine.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{1 \cdot 1}{x y^{3}}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $y^{3}$ .

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Etapa 1.3.2.1

Fatore $y^{3}$ de $x y^{3}$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{1 \cdot 1}{y^{3} x}$

Etapa 1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{1 \cdot 1}{y^{3} x}$

Etapa 1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{x}$

Etapa 1.3.3

Multiplique $1$ por $1$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$y^{3} d y = \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y^{3} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{3}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{4} y^{4} = \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $4$ .

$4 (\frac{1}{4} y^{4}) = 4 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $4 (\frac{1}{4} y^{4})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $y^{4}$ .

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{4} = 4 \ln (| x |) + 4 C$

Etapa 3.3

Simplifique $4 \ln (| x |)$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$y^{4} = \ln ({| x |}^{4}) + 4 C$

Etapa 3.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt[4]{\ln ({| x |}^{4}) + 4 C}$

Etapa 3.5

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{4}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$y = \pm \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

Etapa 3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

Etapa 3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

Etapa 3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C}$