Cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{2} + b^{2}}{x^{2} - b^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} + b^{2}$ e $g (x) = x^{2} - b^{2}$ .

$\frac{(x^{2} - b^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + b^{2}] - (x^{2} + b^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - b^{2}]}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + b^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} - b^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b^{2}]) - (x^{2} + b^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - b^{2}]}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - b^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [b^{2}]) - (x^{2} + b^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - b^{2}]}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $b^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $b^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} - b^{2}) (2 x + 0) - (x^{2} + b^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - b^{2}]}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} - b^{2}) (2 x) - (x^{2} + b^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - b^{2}]}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

Etapa 2.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} - b^{2}$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} - b^{2}) x - (x^{2} + b^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - b^{2}]}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - b^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- b^{2}]$ .

$\frac{2 (x^{2} - b^{2}) x - (x^{2} + b^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- b^{2}])}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} - b^{2}) x - (x^{2} + b^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [- b^{2}])}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

Etapa 2.7

Como $- b^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- b^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - b^{2}) x - (x^{2} + b^{2}) (2 x + 0)}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

Etapa 2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.8.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - b^{2}) x - (x^{2} + b^{2}) (2 x)}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

Etapa 2.8.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - b^{2}) x - 2 (x^{2} + b^{2}) x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 (- b^{2})) x - 2 (x^{2} + b^{2}) x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 (- b^{2}) x - 2 (x^{2} + b^{2}) x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 (- b^{2}) x + (- 2 x^{2} - 2 b^{2}) x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 (- b^{2}) x - 2 x^{2} x - 2 b^{2} x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Combine os termos opostos em $2 x^{2} x + 2 (- b^{2}) x - 2 x^{2} x - 2 b^{2} x$ .

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Etapa 3.5.1.1

Subtraia $2 x^{2} x$ de $2 x^{2} x$ .

$\frac{2 (- b^{2}) x + 0 - 2 b^{2} x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

Etapa 3.5.1.2

Some $2 (- b^{2}) x$ e $0$ .

$\frac{2 (- b^{2}) x - 2 b^{2} x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 b^{2} x - 2 b^{2} x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

Etapa 3.5.3

Subtraia $2 b^{2} x$ de $- 2 b^{2} x$ .

$\frac{- 4 b^{2} x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

Etapa 3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4 b^{2} x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

Etapa 3.7

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.7.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = b$ .

$- \frac{4 b^{2} x}{{((x + b) (x - b))}^{2}}$

Etapa 3.7.2

Aplique a regra do produto a $(x + b) (x - b)$ .

$- \frac{4 b^{2} x}{{(x + b)}^{2} {(x - b)}^{2}}$