Cálculo Exemplos

$\int \ln (2 x + 1) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (2 x + 1)$ e $d v = 1$ .

$\ln (2 x + 1) x - \int x \frac{2}{2 x + 1} d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $x$ e $\frac{2}{2 x + 1}$ .

$\ln (2 x + 1) x - \int \frac{x \cdot 2}{2 x + 1} d x$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\ln (2 x + 1) x - \int \frac{2 x}{2 x + 1} d x$

Etapa 3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\ln (2 x + 1) x - (2 \int \frac{x}{2 x + 1} d x)$

Etapa 4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 \int \frac{x}{2 x + 1} d x$

Etapa 5

Divida $x$ por $2 x + 1$ .

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Etapa 5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$x$

$0$

Etapa 5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

					$\frac{1}{2}$
	$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Etapa 5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$\frac{1}{2}$

Etapa 5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x + \frac{1}{2}$ .

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$\frac{1}{2}$

Etapa 5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$\frac{1}{2}$
					-	$\frac{1}{2}$

Etapa 5.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\ln (2 x + 1) x - 2 \int \frac{1}{2} - \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\int \frac{1}{2} d x + \int - \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x)$

Etapa 7

Aplique a regra da constante.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x + C + \int - \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x)$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x + C - \int \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x)$

Etapa 9

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x + 1} d x))$

Etapa 10

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x + 1} d x)$

Etapa 11

Deixe $u = 2 x + 1$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 11.1

Deixe $u = 2 x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 11.1.1

Diferencie $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Etapa 11.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 11.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 11.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 11.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 11.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 11.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 11.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 11.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 11.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Etapa 12.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u} d u)$

Etapa 13

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 14.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 15

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C))$

Etapa 16

Simplifique.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \ln (| u |)) + C$

Etapa 17

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 1$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Etapa 18

Simplifique.

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Etapa 18.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 18.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Etapa 18.1.2

Combine $\ln (| 2 x + 1 |)$ e $\frac{1}{4}$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

Etapa 18.2

Para escrever $\frac{x}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

Etapa 18.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 18.3.1

Multiplique $\frac{x}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

Etapa 18.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x \cdot 2}{4} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

Etapa 18.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (2 x + 1) x - 2 \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{4} + C$

Etapa 18.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 18.5.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\ln (2 x + 1) x + 2 (- 1) \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{4} + C$

Etapa 18.5.2

Fatore $2$ de $4$ .

$\ln (2 x + 1) x + 2 \cdot - 1 \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 18.5.3

Cancele o fator comum.

$\ln (2 x + 1) x + 2 \cdot - 1 \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 18.5.4

Reescreva a expressão.

$\ln (2 x + 1) x - \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Etapa 18.6

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\ln (2 x + 1) x - \frac{2 x - \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Etapa 19

Reordene os termos.

$\ln (2 x + 1) x - \frac{1}{2} (2 x - \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Etapa 20

Reescreva $\ln (2 x + 1) x - \frac{1}{2} (2 x - \ln (| 2 x + 1 |)) + C$ como $\ln (2 x + 1) x - 1 x + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$ .

$\ln (2 x + 1) x - 1 x + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Etapa 21

Simplifique.

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Etapa 21.1

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\ln (2 x + 1) x - x + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Etapa 21.2

Para escrever $- x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x - x \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Etapa 21.3

Combine $- x$ e $\frac{2}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x + \frac{- x \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Etapa 21.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (2 x + 1) x + \frac{- x \cdot 2 + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Etapa 21.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\ln (2 x + 1) x + \frac{- 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Etapa 21.6

Combine $\ln (2 x + 1) x$ e $\frac{- 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2}$ usando um denominador comum.

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Etapa 21.6.1

Reordene $\ln (2 x + 1)$ e $x$ .

$x \ln (2 x + 1) + \frac{- 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Etapa 21.6.2

Para escrever $x \ln (2 x + 1)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x \ln (2 x + 1) \cdot \frac{2}{2} + \frac{- 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Etapa 21.6.3

Combine $x \ln (2 x + 1)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x \ln (2 x + 1) \cdot 2}{2} + \frac{- 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Etapa 21.6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x \ln (2 x + 1) \cdot 2 - 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Etapa 21.7

Mova $2$ para a esquerda de $x \ln (2 x + 1)$ .

$\frac{2 x \ln (2 x + 1) - 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Etapa 22

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} (2 x \ln (2 x + 1) - 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)) + C$