Cálculo Exemplos

$x^{2} y + 2 y^{3} = 3 x + 2 y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y + 2 y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 x + 2 y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} y + 2 y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Etapa 2.2.4

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (3 y^{2} y')$

Etapa 2.3.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 6 y^{2} y'$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$x^{2} y' + 2 x y + 6 y^{2} y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 2 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 + 2 y'$

Etapa 3.4

Reordene os termos.

$2 y' + 3$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x^{2} y' + 2 x y + 6 y^{2} y' = 2 y' + 3$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $2 y'$ dos dois lados da equação.

$x^{2} y' + 2 x y + 6 y^{2} y' - 2 y' = 3$

Etapa 5.2

Subtraia $2 x y$ dos dois lados da equação.

$x^{2} y' + 6 y^{2} y' - 2 y' = 3 - 2 x y$

Etapa 5.3

Fatore $y'$ de $x^{2} y' + 6 y^{2} y' - 2 y'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $y'$ de $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} + 6 y^{2} y' - 2 y' = 3 - 2 x y$

Etapa 5.3.2

Fatore $y'$ de $6 y^{2} y'$ .

$y' (x^{2}) + y' (6 y^{2}) - 2 y' = 3 - 2 x y$

Etapa 5.3.3

Fatore $y'$ de $- 2 y'$ .

$y' (x^{2}) + y' (6 y^{2}) + y' \cdot - 2 = 3 - 2 x y$

Etapa 5.3.4

Fatore $y'$ de $y' (x^{2}) + y' (6 y^{2})$ .

$y' (x^{2} + 6 y^{2}) + y' \cdot - 2 = 3 - 2 x y$

Etapa 5.3.5

Fatore $y'$ de $y' (x^{2} + 6 y^{2}) + y' \cdot - 2$ .

$y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2) = 3 - 2 x y$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2) = 3 - 2 x y$ por $x^{2} + 6 y^{2} - 2$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2) = 3 - 2 x y$ por $x^{2} + 6 y^{2} - 2$ .

$\frac{y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2)}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} = \frac{3}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2} + 6 y^{2} - 2$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2)}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} = \frac{3}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{3 - 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 - 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$