Cálculo Exemplos

$4 y^{2} + x y - 2 x^{2} = 3$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (4 y^{2} + x y - 2 x^{2}) = \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 y^{2} + x y - 2 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Etapa 2.2.4

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 y y' + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$8 y y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$8 y y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 y y' + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Etapa 2.3.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$8 y y' + x y' + y + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 y y' + x y' + y - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$8 y y' + x y' + y - 2 (2 x)$

Etapa 2.4.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$8 y y' + x y' + y - 4 x$

Etapa 2.5

Reordene os termos.

$8 y y' + x y' - 4 x + y$

Etapa 3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$8 y y' + x y' - 4 x + y = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Some $4 x$ aos dois lados da equação.

$8 y y' + x y' + y = 4 x$

Etapa 5.1.2

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$8 y y' + x y' = 4 x - y$

Etapa 5.2

Fatore $y'$ de $8 y y' + x y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $y'$ de $8 y y'$ .

$y' (8 y) + x (y') = 4 x - y$

Etapa 5.2.2

Fatore $y'$ de $x y'$ .

$y' (8 y) + y' (x) = 4 x - y$

Etapa 5.2.3

Fatore $y'$ de $y' (8 y) + y' (x)$ .

$y' (8 y + x) = 4 x - y$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $y' (8 y + x) = 4 x - y$ por $8 y + x$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $y' (8 y + x) = 4 x - y$ por $8 y + x$ .

$\frac{y' (8 y + x)}{8 y + x} = \frac{4 x}{8 y + x} + \frac{- y}{8 y + x}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $8 y + x$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (8 y + x)}{8 y + x} = \frac{4 x}{8 y + x} + \frac{- y}{8 y + x}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{4 x}{8 y + x} + \frac{- y}{8 y + x}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{4 x - y}{8 y + x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x - y}{8 y + x}$