Cálculo Exemplos

$y = k \sqrt{x} + x \sqrt{k}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $k \sqrt{x} + x \sqrt{k}$ com relação a $k$ é $\frac{d}{d k} [k \sqrt{x}] + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$ .

$\frac{d}{d k} [k \sqrt{x}] + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d k} [k \sqrt{x}]$ .

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Etapa 2.1

Como $\sqrt{x}$ é constante em relação a $k$ , a derivada de $k \sqrt{x}$ em relação a $k$ é $\sqrt{x} \frac{d}{d k} [k]$ .

$\sqrt{x} \frac{d}{d k} [k] + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ é $n k^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sqrt{x} \cdot 1 + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

Etapa 2.3

Multiplique $\sqrt{x}$ por $1$ .

$\sqrt{x} + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$ .

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{k}$ como $k^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{x} + \frac{d}{d k} [x k^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2

Como $x$ é constante em relação a $k$ , a derivada de $x k^{\frac{1}{2}}$ em relação a $k$ é $x \frac{d}{d k} [k^{\frac{1}{2}}]$ .

$\sqrt{x} + x \frac{d}{d k} [k^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ é $n k^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 3.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 3.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 3.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 3.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 3.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $k^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{x} + x \frac{k^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 3.10

Combine $x$ e $\frac{k^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\sqrt{x} + \frac{x k^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 3.11

Mova $k^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt{x} + \frac{x}{2 k^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4

Reordene os termos.

$\frac{x}{2 k^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x}$