Cálculo Exemplos

$\int {(2 - \frac{1}{p^{2}})}^{2} d p$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(2 - \frac{1}{p^{2}})}^{2}$ como $(2 - \frac{1}{p^{2}}) (2 - \frac{1}{p^{2}})$ .

$\int (2 - \frac{1}{p^{2}}) (2 - \frac{1}{p^{2}}) d p$

Etapa 1.2

Expanda $(2 - \frac{1}{p^{2}}) (2 - \frac{1}{p^{2}})$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 2 (2 - \frac{1}{p^{2}}) - \frac{1}{p^{2}} (2 - \frac{1}{p^{2}}) d p$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 2 \cdot 2 + 2 (- \frac{1}{p^{2}}) - \frac{1}{p^{2}} (2 - \frac{1}{p^{2}}) d p$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 2 \cdot 2 + 2 (- \frac{1}{p^{2}}) - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int 4 + 2 (- \frac{1}{p^{2}}) - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $2 (- \frac{1}{p^{2}})$ .

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Etapa 1.3.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\int 4 - 2 \frac{1}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Etapa 1.3.1.2.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{p^{2}}$ .

$\int 4 + \frac{- 2}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Etapa 1.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Etapa 1.3.1.4

Multiplique $- \frac{1}{p^{2}} \cdot 2$ .

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Etapa 1.3.1.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - 2 \frac{1}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Etapa 1.3.1.4.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{p^{2}}$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} + \frac{- 2}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Etapa 1.3.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Etapa 1.3.1.6

Multiplique $- \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}})$ .

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Etapa 1.3.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + 1 \frac{1}{p^{2}} \frac{1}{p^{2}} d p$

Etapa 1.3.1.6.2

Multiplique $\frac{1}{p^{2}}$ por $1$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{2}} \cdot \frac{1}{p^{2}} d p$

Etapa 1.3.1.6.3

Multiplique $\frac{1}{p^{2}}$ por $\frac{1}{p^{2}}$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{2} p^{2}} d p$

Etapa 1.3.1.6.4

Multiplique $p^{2}$ por $p^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.1.6.4.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{2 + 2}} d p$

Etapa 1.3.1.6.4.2

Some $2$ e $2$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

Etapa 1.3.2

Subtraia $\frac{2}{p^{2}}$ de $- \frac{2}{p^{2}}$ .

$\int 4 - 2 \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

Etapa 1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.1

Multiplique $- 2 \frac{2}{p^{2}}$ .

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Etapa 1.4.1.1

Combine $- 2$ e $\frac{2}{p^{2}}$ .

$\int 4 + \frac{- 2 \cdot 2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

Etapa 1.4.1.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\int 4 + \frac{- 4}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

Etapa 1.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int 4 - \frac{4}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 4 d p + \int - \frac{4}{p^{2}} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$4 p + C + \int - \frac{4}{p^{2}} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $p$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$4 p + C - \int \frac{4}{p^{2}} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Etapa 5

Como $4$ é constante com relação a $p$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 p + C - (4 \int \frac{1}{p^{2}} d p) + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Etapa 6

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$4 p + C - 4 \int \frac{1}{p^{2}} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Etapa 6.2

Mova $p^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$4 p + C - 4 \int {(p^{2})}^{- 1} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Etapa 6.3

Multiplique os expoentes em ${(p^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 p + C - 4 \int p^{2 \cdot - 1} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Etapa 6.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$4 p + C - 4 \int p^{- 2} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $p^{- 2}$ com relação a $p$ é $- p^{- 1}$ .

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Etapa 8

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 8.1

Mova $p^{4}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) + \int {(p^{4})}^{- 1} d p$

Etapa 8.2

Multiplique os expoentes em ${(p^{4})}^{- 1}$ .

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Etapa 8.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) + \int p^{4 \cdot - 1} d p$

Etapa 8.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) + \int p^{- 4} d p$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $p^{- 4}$ com relação a $p$ é $- \frac{1}{3} p^{- 3}$ .

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) - \frac{1}{3} p^{- 3} + C$

Etapa 10

Simplifique.

$4 p + \frac{4}{p} - \frac{1}{3} p^{- 3} + C$