Cálculo Exemplos

$\frac{- 4}{x^{3}} + \frac{1}{x}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{- 4}{x^{3}} + \frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{- 4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{- 4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{- 4}{x^{3}}]$ .

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Etapa 2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2.2

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{4}{x^{3}}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3}$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3}$ .

$- 4 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 4 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2.6

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2.6.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$- 4 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2.7

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 4 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2.8

Multiplique $x^{- 6}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.8.1

Mova $x^{2}$ .

$- 4 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2.8.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 4 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2.8.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$- 4 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2.9

Multiplique $- 3$ por $- 4$ .

$12 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Etapa 3.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$12 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$12 x^{- 4} - x^{- 2}$

Etapa 4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 \frac{1}{x^{4}} - x^{- 2}$

Etapa 5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 \frac{1}{x^{4}} - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Combine $12$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{12}{x^{4}} - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 6.2

Reordene os termos.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{12}{x^{4}}$