Cálculo Exemplos

$x^{2} - 4 x y + 2 y^{2} = - 4 x$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x y + 2 y^{2}) = \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4 x y + 2 y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x y]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x y$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 x - 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x - 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x - 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Etapa 2.2.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 (2 y y')$

Etapa 2.3.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 4 y y'$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x - 4 (x y') - 4 y + 4 y y'$

Etapa 2.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 x - 4 x y' - 4 y + 4 y y'$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$- 4 x y' + 4 y y' + 2 x - 4 y$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Etapa 3.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$- 4$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 4 x y' + 4 y y' + 2 x - 4 y = - 4$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$- 4 x y' + 4 y y' - 4 y = - 4 - 2 x$

Etapa 5.1.2

Some $4 y$ aos dois lados da equação.

$- 4 x y' + 4 y y' = - 4 - 2 x + 4 y$

Etapa 5.2

Fatore $4 y'$ de $- 4 x y' + 4 y y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $4 y'$ de $- 4 x y'$ .

$4 y' (- x) + 4 y y' = - 4 - 2 x + 4 y$

Etapa 5.2.2

Fatore $4 y'$ de $4 y y'$ .

$4 y' (- x) + 4 y' y = - 4 - 2 x + 4 y$

Etapa 5.2.3

Fatore $4 y'$ de $4 y' (- x) + 4 y' y$ .

$4 y' (- x + y) = - 4 - 2 x + 4 y$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $4 y' (- x + y) = - 4 - 2 x + 4 y$ por $4 (- x + y)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $4 y' (- x + y) = - 4 - 2 x + 4 y$ por $4 (- x + y)$ .

$\frac{4 y' (- x + y)}{4 (- x + y)} = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y' (- x + y)}{4 (- x + y)} = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (- x + y)}{- x + y} = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $- x + y$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- x + y)}{- x + y} = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 4$ e $4$ .

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Etapa 5.3.3.1.1.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$y' = \frac{4 \cdot - 1}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Etapa 5.3.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{4 \cdot - 1}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Etapa 5.3.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- 1}{- x + y} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Etapa 5.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Etapa 5.3.3.1.3

Cancele o fator comum de $- 2$ e $4$ .

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Etapa 5.3.3.1.3.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{2 (- x)}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Etapa 5.3.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.3.2.1

Fatore $2$ de $4 (- x + y)$ .

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{2 (- x)}{2 (2 (- x + y))} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Etapa 5.3.3.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{2 (- x)}{2 (2 (- x + y))} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Etapa 5.3.3.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{- x}{2 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Etapa 5.3.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{1}{- x + y} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Etapa 5.3.3.1.5

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.3.3.1.5.1

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{1}{- x + y} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Etapa 5.3.3.1.5.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{1}{- x + y} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

Etapa 5.3.3.2

Para escrever $- \frac{1}{- x + y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{1}{- x + y} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

Etapa 5.3.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(- x + y) \cdot 2$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.3.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{- x + y}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{2}{(- x + y) \cdot 2} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

Etapa 5.3.3.3.2

Reordene os fatores de $(- x + y) \cdot 2$ .

$y' = - \frac{2}{2 (- x + y)} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

Etapa 5.3.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 2 - x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

Etapa 5.3.3.5

Para escrever $\frac{y}{- x + y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{- 2 - x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 5.3.3.6

Escreva cada expressão com um denominador comum de $2 (- x + y)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.3.3.6.1

Multiplique $\frac{y}{- x + y}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{- 2 - x}{2 (- x + y)} + \frac{y \cdot 2}{(- x + y) \cdot 2}$

Etapa 5.3.3.6.2

Reordene os fatores de $(- x + y) \cdot 2$ .

$y' = \frac{- 2 - x}{2 (- x + y)} + \frac{y \cdot 2}{2 (- x + y)}$

Etapa 5.3.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 2 - x + y \cdot 2}{2 (- x + y)}$

Etapa 5.3.3.8

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$y' = \frac{- 2 - x + 2 y}{2 (- x + y)}$

Etapa 5.3.3.9

Simplifique os termos.

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Etapa 5.3.3.9.1

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{- 1 (2) - x + 2 y}{2 (- x + y)}$

Etapa 5.3.3.9.2

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (2) - (x) + 2 y}{2 (- x + y)}$

Etapa 5.3.3.9.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (2) - (x)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x) + 2 y}{2 (- x + y)}$

Etapa 5.3.3.9.4

Fatore $- 1$ de $2 y$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x) - (- 2 y)}{2 (- x + y)}$

Etapa 5.3.3.9.5

Fatore $- 1$ de $- 1 (2 + x) - (- 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- x + y)}$

Etapa 5.3.3.9.6

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- (x) + y)}$

Etapa 5.3.3.9.7

Fatore $- 1$ de $y$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- (x) - 1 (- y))}$

Etapa 5.3.3.9.8

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- (x - y))}$

Etapa 5.3.3.9.9

Reescreva $- (x - y)$ como $- 1 (x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- 1 (x - y))}$

Etapa 5.3.3.9.10

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- 1 (x - y))}$

Etapa 5.3.3.9.11

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{2 + x - 2 y}{2 (x - y)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + x - 2 y}{2 (x - y)}$