Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - x - 6}{4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - x - 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Etapa 1.1.2.3

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie os limites substituindo $3$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{3^{2} - lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Etapa 1.1.2.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{3^{2} - 3 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.5.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{9 - 3 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Etapa 1.1.2.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{9 - 3 - 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Etapa 1.1.2.5.2

Subtraia $3$ de $9$ .

$\frac{6 - 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Etapa 1.1.2.5.3

Subtraia $6$ de $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} \sqrt{5 x + 1}}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{0}{4 - lim_{x \to 3} \sqrt{5 x + 1}}$

Etapa 1.1.3.1.3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{0}{4 - \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x + 1}}$

Etapa 1.1.3.1.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{0}{4 - \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x + lim_{x \to 3} 1}}$

Etapa 1.1.3.1.5

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{4 - \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1}}$

Etapa 1.1.3.1.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{0}{4 - \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + 1}}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{0}{4 - \sqrt{5 \cdot 3 + 1}}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{0}{4 - \sqrt{15 + 1}}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Some $15$ e $1$ .

$\frac{0}{4 - \sqrt{16}}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{0}{4 - \sqrt{4^{2}}}$

Etapa 1.1.3.3.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - x - 6}{4 - \sqrt{5 x + 1}} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Etapa 1.3.5

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1 + 0}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Etapa 1.3.6

Some $2 x - 1$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - \sqrt{5 x + 1}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x + 1}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x + 1}]}$

Etapa 1.3.8

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x + 1}]}$

Etapa 1.3.9

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x + 1}]$ .

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Etapa 1.3.9.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5 x + 1}$ como ${(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 + \frac{d}{d x} [- {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 1.3.9.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 1.3.9.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 5 x + 1$ .

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Etapa 1.3.9.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x + 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 1])}$

Etapa 1.3.9.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 1])}$

Etapa 1.3.9.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x + 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 1])}$

Etapa 1.3.9.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]))}$

Etapa 1.3.9.5

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}$

Etapa 1.3.9.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))}$

Etapa 1.3.9.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \cdot 1 + 0))}$

Etapa 1.3.9.8

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Etapa 1.3.9.9

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Etapa 1.3.9.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Etapa 1.3.9.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.9.11.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Etapa 1.3.9.11.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Etapa 1.3.9.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Etapa 1.3.9.13

Multiplique $5$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (5 + 0))}$

Etapa 1.3.9.14

Some $5$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 5)}$

Etapa 1.3.9.15

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{{(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 5)}$

Etapa 1.3.9.16

Combine $\frac{{(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $5$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - \frac{{(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 5}{2}}$

Etapa 1.3.9.17

Mova $5$ para a esquerda de ${(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - \frac{5 \cdot {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Etapa 1.3.9.18

Mova ${(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - \frac{5}{2 {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.3.10

Subtraia $\frac{5}{2 {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{- \frac{5}{2 {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 3} (2 x - 1) (- \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{5})$

Etapa 1.5

Reescreva ${(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{5 x + 1}$ .

$lim_{x \to 3} (2 x - 1) (- \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5})$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- lim_{x \to 3} (2 x - 1) \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$- lim_{x \to 3} 2 x - 1 \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$- (lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 1) \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

Etapa 2.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- (2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 1) \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

Etapa 2.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

Etapa 2.6

Mova o termo $\frac{2}{5}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} lim_{x \to 3} \sqrt{5 x + 1}$

Etapa 2.7

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x + 1}$

Etapa 2.8

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x + lim_{x \to 3} 1}$

Etapa 2.9

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1}$

Etapa 2.10

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + 1}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $3$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$- (2 \cdot 3 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + 1}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$- (2 \cdot 3 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$- (6 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- (6 - 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Etapa 4.2

Subtraia $1$ de $6$ .

$- 1 \cdot 5 \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 4.3.1

Fatore $5$ de $- 1 \cdot 5$ .

$5 \cdot - 1 \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Etapa 4.3.2

Cancele o fator comum.

$5 \cdot - 1 \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Etapa 4.3.3

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot 2 \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Etapa 4.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Etapa 4.5

Multiplique $5$ por $3$ .

$- 2 \sqrt{15 + 1}$

Etapa 4.6

Some $15$ e $1$ .

$- 2 \sqrt{16}$

Etapa 4.7

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$- 2 \sqrt{4^{2}}$

Etapa 4.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$- 2 \cdot 4$

Etapa 4.9

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$- 8$