Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - x^{2} + 5$ , $a = - 2$

Etapa 1

Considere a função usada para encontrar a linearização em $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Etapa 2

Substitua o valor de $a = - 2$ na função de linearização.

$L (x) = f (- 2) + f' (- 2) (x - - 2)$

Etapa 3

Avalie $f (- 2)$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} + 5$

Etapa 3.2

Simplifique ${(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} + 5$ .

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Etapa 3.2.1

Remova os parênteses.

${(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} + 5$

Etapa 3.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$- 8 - {(- 2)}^{2} + 5$

Etapa 3.2.2.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$- 8 - 1 \cdot 4 + 5$

Etapa 3.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 8 - 4 + 5$

Etapa 3.2.3

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 3.2.3.1

Subtraia $4$ de $- 8$ .

$- 12 + 5$

Etapa 3.2.3.2

Some $- 12$ e $5$ .

$- 7$

Etapa 4

Encontre a derivada e a avalie em $- 2$ .

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Etapa 4.1

Encontre a derivada de $f (x) = x^{3} - x^{2} + 5$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie.

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Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - x^{2} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} - 2 x + 0$

Etapa 4.1.3.2

Some $3 x^{2} - 2 x$ e $0$ .

$3 x^{2} - 2 x$

Etapa 4.2

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$3 {(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$3 \cdot 4 - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$12 + 4$

Etapa 4.3.2

Some $12$ e $4$ .

$16$

Etapa 5

Substitua os componentes na função de linearização para encontrar a linearização em $a$ .

$L (x) = - 7 + 16 (x - - 2)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$L (x) = - 7 + 16 x + 16 \cdot 2$

Etapa 6.1.2

Multiplique $16$ por $2$ .

$L (x) = - 7 + 16 x + 32$

Etapa 6.2

Some $- 7$ e $32$ .

$L (x) = 16 x + 25$

Etapa 7