Cálculo Exemplos

$y = (2 x + 5) \sqrt{4 x - 1}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 x - 1}$ como ${(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x + 5) {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 2 x + 5$ e $g (x) = {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 x + 5) \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 x - 1$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x - 1$ .

$(2 x + 5) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x - 1$ .

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Etapa 8

Combine frações.

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Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$(2 x + 5) (\frac{{(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Etapa 8.3

Mova ${(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(2 x + 5) (\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Etapa 9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Etapa 10

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Etapa 11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Etapa 12

Multiplique $4$ por $1$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Etapa 13

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Etapa 14

Simplifique os termos.

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Etapa 14.1

Some $4$ e $0$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4 + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Etapa 14.2

Combine $4$ e $\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$(2 x + 5) \frac{4}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Etapa 14.3

Fatore $2$ de $4$ .

$(2 x + 5) \frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Etapa 15

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 15.1

Fatore $2$ de $2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 x + 5) \frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Etapa 15.2

Cancele o fator comum.

$(2 x + 5) \frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Etapa 15.3

Reescreva a expressão.

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Etapa 16

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 17

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 18

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 19

Multiplique $2$ por $1$ .

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 20

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 + 0)$

Etapa 21

Simplifique a expressão.

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Etapa 21.1

Some $2$ e $0$ .

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2$

Etapa 21.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 22

Simplifique.

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Etapa 22.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 22.1.1

Multiplique $2 x + 5$ por $\frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(2 x + 5) \cdot 2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 22.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $2 x + 5$ .

$\frac{2 (2 x + 5)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 22.2

Para escrever $2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 (2 x + 5)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 (2 x + 5) + 2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 22.4.1

Fatore $2$ de $2 (2 x + 5) + 2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 22.4.1.1

Fatore $2$ de $2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 x + 5) + 2 ({(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4.1.2

Fatore $2$ de $2 (2 x + 5) + 2 ({(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (2 x + 5 + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4.2

Multiplique ${(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 22.4.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 (2 x + 5 + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 (2 x + 5 + {(4 x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}})}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4.2.3

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 (2 x + 5 + {(4 x - 1)}^{\frac{2}{2}})}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4.2.4

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{2 (2 x + 5 + {(4 x - 1)}^{1})}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4.3

Simplifique ${(4 x - 1)}^{1}$ .

$\frac{2 (2 x + 5 + 4 x - 1)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4.4

Some $2 x$ e $4 x$ .

$\frac{2 (6 x + 5 - 1)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4.5

Subtraia $1$ de $5$ .

$\frac{2 (6 x + 4)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4.6

Fatore $2$ de $6 x + 4$ .

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Etapa 22.4.6.1

Fatore $2$ de $6 x$ .

$\frac{2 (2 (3 x) + 4)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4.6.2

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 (2 (3 x) + 2 (2))}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4.6.3

Fatore $2$ de $2 (3 x) + 2 (2)$ .

$\frac{2 (2 (3 x + 2))}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{2 \cdot 2 (3 x + 2)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4.7

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 (3 x + 2)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$