Cálculo Exemplos

$y = e^{e^{x}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{e^{x}})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = e^{x}$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $e^{x}$ .

$e^{e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{e^{x}} e^{x}$

Etapa 3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{e^{x} + x}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = e^{e^{x} + x}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{e^{x} + x}$