Cálculo Exemplos

$\int e^{- 9 x^{2}} x d x$

Etapa 1

Deixe $u_{2} = e^{- 9 x^{2}}$ . Depois, $d u_{2} = - 18 x e^{- 9 x^{2}} d x$ , então, $- \frac{1}{18} d u_{2} = x e^{- 9 x^{2}} d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{2} = e^{- 9 x^{2}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $e^{- 9 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- 9 x^{2}}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 9 x^{2}$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- 9 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- 9 x^{2}$ .

$e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- 9 x^{2}} (- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{- 9 x^{2}} (- 9 (2 x))$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$e^{- 9 x^{2}} (- 18 x)$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Reordene os fatores de $e^{- 9 x^{2}} (- 18 x)$ .

$- 18 e^{- 9 x^{2}} x$

Etapa 1.1.4.2

Reordene os fatores em $- 18 e^{- 9 x^{2}} x$ .

$- 18 x e^{- 9 x^{2}}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{- 18} d u_{2}$

Etapa 2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int - \frac{1}{18} d u_{2}$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$- \frac{1}{18} u_{2} + C$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $e^{- 9 x^{2}}$ .

$- \frac{1}{18} e^{- 9 x^{2}} + C$