Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{2} - x^{4}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 x - \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x - (4 x^{3})$

Etapa 1.3.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$4 x - 4 x^{3}$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$- 4 x^{3} + 4 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 4 x^{3} + 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 4 x^{3} + 4 x = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (x) = 4 x + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 4 x - \frac{d}{d x} x^{4}$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x - (4 x^{3})$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f' (x) = 4 x - 4 x^{3}$

Etapa 4.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 4 x$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 4 x^{3} + 4 x$ .

$- 4 x^{3} + 4 x$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 4 x^{3} + 4 x = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 4 x^{3} + 4 x = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.2.1

Fatore $- 4 x$ de $- 4 x^{3} + 4 x$ .

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Etapa 5.2.1.1

Fatore $- 4 x$ de $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x \cdot x^{2} + 4 x = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $- 4 x$ de $4 x$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 1 = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $- 4 x$ de $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 1)$ .

$- 4 x (x^{2} - 1) = 0$

Etapa 5.2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore.

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Etapa 5.2.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$- 4 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Etapa 5.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 4 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 5.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 5.6

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.6.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 5.6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 5.7

A solução final são todos os valores que tornam $- 4 x (x + 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 1, 1$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, - 1, 1$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 12 {(0)}^{2} + 4$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 12 \cdot 0 + 4$

Etapa 9.1.2

Multiplique $- 12$ por $0$ .

$0 + 4$

Etapa 9.2

Some $0$ e $4$ .

$4$

Etapa 10

$x = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 2 {(0)}^{2} - {(0)}^{4}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 - {(0)}^{4}$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{4}$

Etapa 11.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 0$

Etapa 11.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Etapa 11.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 12 {(- 1)}^{2} + 4$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 12 \cdot 1 + 4$

Etapa 13.1.2

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$- 12 + 4$

Etapa 13.2

Some $- 12$ e $4$ .

$- 8$

Etapa 14

$x = - 1$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 1$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - 1$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{4}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = 2 \cdot 1 - {(- 1)}^{4}$

Etapa 15.2.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (- 1) = 2 - {(- 1)}^{4}$

Etapa 15.2.1.3

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 15.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{4}$ .

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Etapa 15.2.1.3.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- 1) = 2 + (- 1) {(- 1)}^{4}$

Etapa 15.2.1.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- 1) = 2 + {(- 1)}^{1 + 4}$

Etapa 15.2.1.3.2

Some $1$ e $4$ .

$f (- 1) = 2 + {(- 1)}^{5}$

Etapa 15.2.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$f (- 1) = 2 - 1$

Etapa 15.2.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$f (- 1) = 1$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $1$ .

$y = 1$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 12 {(1)}^{2} + 4$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 17.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 12 \cdot 1 + 4$

Etapa 17.1.2

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$- 12 + 4$

Etapa 17.2

Some $- 12$ e $4$ .

$- 8$

Etapa 18

$x = 1$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um máximo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

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Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = 2 {(1)}^{2} - {(1)}^{4}$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 19.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 19.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 2 \cdot 1 - {(1)}^{4}$

Etapa 19.2.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (1) = 2 - {(1)}^{4}$

Etapa 19.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 2 - 1 \cdot 1$

Etapa 19.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1) = 2 - 1$

Etapa 19.2.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$f (1) = 1$

Etapa 19.2.3

A resposta final é $1$ .

$y = 1$

Etapa 20

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 x^{2} - x^{4}$ .

$(0, 0)$ é um mínimo local

$(- 1, 1)$ é um máximo local

$(1, 1)$ é um máximo local

Etapa 21