Cálculo Exemplos

$y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2} = - 4$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2}) = \frac{d}{d y} (- 4)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5 y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5 y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5 y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 y^{2} + 2 y + \frac{d}{d y} [- 5 y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d y} [- 5 y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 5$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 5 y$ em relação a $y$ é $- 5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 - \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 - (2 u \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 - (2 x \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 - (2 x x')$

Etapa 2.3.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 - 2 x x'$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$3 y^{2} - 2 x x' + 2 y - 5$

Etapa 3

Como $- 4$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 4$ em relação a $y$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 y^{2} - 2 x x' + 2 y - 5 = 0$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $x'$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Subtraia $3 y^{2}$ dos dois lados da equação.

$- 2 x x' + 2 y - 5 = - 3 y^{2}$

Etapa 5.1.2

Subtraia $2 y$ dos dois lados da equação.

$- 2 x x' - 5 = - 3 y^{2} - 2 y$

Etapa 5.1.3

Some $5$ aos dois lados da equação.

$- 2 x x' = - 3 y^{2} - 2 y + 5$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $- 2 x x' = - 3 y^{2} - 2 y + 5$ por $- 2 x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $- 2 x x' = - 3 y^{2} - 2 y + 5$ por $- 2 x$ .

$\frac{- 2 x x'}{- 2 x} = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x x'}{- 2 x} = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Etapa 5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x x'}{x} = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x x'}{x} = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Etapa 5.2.2.2.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x' = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Etapa 5.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x' = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x' = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{y}{x} + \frac{5}{- 2 x}$

Etapa 5.2.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{y}{x} - \frac{5}{2 x}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{y}{x} - \frac{5}{2 x}$