Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} (- 2 \sec^{2} (x) - 5 \cos (x)) d x$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - 2 \sec^{2} (x) - 5 \cos (x) d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - 2 \sec^{2} (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - 5 \cos (x) d x$

Etapa 3

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$- 2 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - 5 \cos (x) d x$

Etapa 4

Como a derivada de $\tan (x)$ é $\sec^{2} (x)$ , a integral de $\sec^{2} (x)$ é $\tan (x)$ .

$- 2 (\tan (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - 5 \cos (x) d x$

Etapa 5

Como $- 5$ é constante com relação a $x$ , mova $- 5$ para fora da integral.

$- 2 (\tan (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) - 5 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x$

Etapa 6

A integral de $\cos (x)$ com relação a $x$ é $\sin (x)$ .

$- 2 (\tan (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) - 5 (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1.1

Avalie $\tan (x)$ em $\frac{π}{3}$ e em $\frac{π}{4}$ .

$- 2 ((\tan (\frac{π}{3})) - \tan (\frac{π}{4})) - 5 (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

Etapa 7.1.2

Avalie $\sin (x)$ em $\frac{π}{3}$ e em $\frac{π}{4}$ .

$- 2 (\tan (\frac{π}{3}) - \tan (\frac{π}{4})) - 5 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

O valor exato de $\tan (\frac{π}{3})$ é $\sqrt{3}$ .

$- 2 (\sqrt{3} - \tan (\frac{π}{4})) - 5 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Etapa 7.2.2

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$- 2 (\sqrt{3} - 1 \cdot 1) - 5 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Etapa 7.2.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 (\sqrt{3} - 1 \cdot 1) - 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{π}{4}))$

Etapa 7.2.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 (\sqrt{3} - 1 \cdot 1) - 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 7.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 (\sqrt{3} - 1) - 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 \sqrt{3} - 2 \cdot - 1 - 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 7.3.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$- 2 \sqrt{3} + 2 - 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 7.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 \sqrt{3} + 2 - 5 \frac{\sqrt{3}}{2} - 5 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 7.3.4

Combine $- 5$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \sqrt{3} + 2 + \frac{- 5 \sqrt{3}}{2} - 5 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 7.3.5

Multiplique $- 5 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Etapa 7.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$- 2 \sqrt{3} + 2 + \frac{- 5 \sqrt{3}}{2} + 5 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.3.5.2

Combine $5$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \sqrt{3} + 2 + \frac{- 5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 2 \sqrt{3} + 2 - \frac{5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.3.7

Para escrever $- 2 \sqrt{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 2 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 \sqrt{3}}{2} + 2 + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.3.8

Combine $- 2 \sqrt{3}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{5 \sqrt{3}}{2} + 2 + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2 - 5 \sqrt{3}}{2} + 2 + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.3.10

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2 - 5 \sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.3.11

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2 - 5 \sqrt{3}}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.3.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2 - 5 \sqrt{3} + 2 \cdot 2}{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.3.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2 - 5 \sqrt{3} + 2 \cdot 2 + 5 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.3.14

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3} + 2 \cdot 2 + 5 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.3.15

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3} + 4 + 5 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.3.16

Subtraia $5 \sqrt{3}$ de $- 4 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 9 \sqrt{3} + 4 + 5 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{- 9 \sqrt{3} + 4 + 5 \sqrt{2}}{2}$

Forma decimal:

$- 2.25869472 \dots$