Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} 14 \sqrt[3]{1 + 7 x} d x$

Etapa 1

Como $14$ é constante com relação a $x$ , mova $14$ para fora da integral.

$14 \int_{0}^{1} \sqrt[3]{1 + 7 x} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 1 + 7 x$ . Depois, $d u = 7 d x$ , então, $\frac{1}{7} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Deixe $u = 1 + 7 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie $1 + 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 7 x]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 7 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Etapa 2.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [7 x]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 7 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 7 \cdot 1$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $7$ por $1$ .

$0 + 7$

Etapa 2.1.4

Some $0$ e $7$ .

$7$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 + 7 x$ .

$u_{lower} = 1 + 7 \cdot 0$

Etapa 2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique $7$ por $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Etapa 2.3.2

Some $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 + 7 x$ .

$u_{upper} = 1 + 7 \cdot 1$

Etapa 2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Multiplique $7$ por $1$ .

$u_{upper} = 1 + 7$

Etapa 2.5.2

Some $1$ e $7$ .

$u_{upper} = 8$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$14 \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} \frac{1}{7} d u$

Etapa 3

Combine $\sqrt[3]{u}$ e $\frac{1}{7}$ .

$14 \int_{1}^{8} \frac{\sqrt[3]{u}}{7} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{7}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{7}$ para fora da integral.

$14 (\frac{1}{7} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u)$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Combine $\frac{1}{7}$ e $14$ .

$\frac{14}{7} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

Etapa 5.1.2

Cancele o fator comum de $14$ e $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Fatore $7$ de $14$ .

$\frac{7 \cdot 2}{7} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

Etapa 5.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.2.1

Fatore $7$ de $7$ .

$\frac{7 \cdot 2}{7 (1)} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

Etapa 5.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{7 \cdot 2}{7 \cdot 1} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

Etapa 5.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{1} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

Etapa 5.1.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$2 \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

Etapa 5.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$2 \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$2 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8})$

Etapa 7

Combine $\frac{3}{4}$ e $u^{\frac{4}{3}}$ .

$2 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}]_{1}^{8})$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Avalie $\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}$ em $8$ e em $1$ .

$2 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{4}{3}}}{4}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

Etapa 8.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$2 (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

Etapa 8.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})}}{4} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

Etapa 8.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})}}{4} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

Etapa 8.2.3.2

Reescreva a expressão.

$2 (\frac{3 \cdot 2^{4}}{4} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

Etapa 8.2.4

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$2 (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

Etapa 8.2.5

Multiplique $3$ por $16$ .

$2 (\frac{48}{4} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

Etapa 8.2.6

Cancele o fator comum de $48$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.6.1

Fatore $4$ de $48$ .

$2 (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

Etapa 8.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.6.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$2 (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

Etapa 8.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

Etapa 8.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$2 (\frac{12}{1} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

Etapa 8.2.6.2.4

Divida $12$ por $1$ .

$2 (12 - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

Etapa 8.2.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 (12 - \frac{3 \cdot 1}{4})$

Etapa 8.2.8

Multiplique $3$ por $1$ .

$2 (12 - \frac{3}{4})$

Etapa 8.2.9

Para escrever $12$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$2 (12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4})$

Etapa 8.2.10

Combine $12$ e $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4})$

Etapa 8.2.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 \frac{12 \cdot 4 - 3}{4}$

Etapa 8.2.12

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.12.1

Multiplique $12$ por $4$ .

$2 \frac{48 - 3}{4}$

Etapa 8.2.12.2

Subtraia $3$ de $48$ .

$2 (\frac{45}{4})$

Etapa 8.2.13

Combine $2$ e $\frac{45}{4}$ .

$\frac{2 \cdot 45}{4}$

Etapa 8.2.14

Multiplique $2$ por $45$ .

$\frac{90}{4}$

Etapa 8.2.15

Cancele o fator comum de $90$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.15.1

Fatore $2$ de $90$ .

$\frac{2 (45)}{4}$

Etapa 8.2.15.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.15.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 45}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.2.15.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 45}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.2.15.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{45}{2}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{45}{2}$

Forma decimal:

$22.5$

Forma de número misto:

$22 \frac{1}{2}$

Etapa 10