Cálculo Exemplos

$\int {(3 x^{2} - 4 x + 2)}^{4} (3 x - 2) d x$

Etapa 1

Deixe $u = 3 x^{2} - 4 x + 2$ . Depois, $d u = (6 x - 4) d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = (3 x - 2) d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 3 x^{2} - 4 x + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 2]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 4 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$6 x - 4 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.5.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x - 4 + 0$

Etapa 1.1.5.2

Some $6 x - 4$ e $0$ .

$6 x - 4$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{4} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Combine $u^{4}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u^{4}}{2} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int u^{4} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{4}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva $\frac{1}{2} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$ como $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$

Etapa 5.2

Reescreva $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$ como $\frac{1}{10} u^{5} + C$ .

$\frac{1}{10} u^{5} + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$\frac{1}{10} {(3 x^{2} - 4 x + 2)}^{5} + C$