Cálculo Exemplos

$y = x^{\ln (x)}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{\ln (x)})$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências generalizada, que determina que $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ é $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , em que $f = x$ e $g = \ln (x)$ .

$\frac{d}{d y} [x] (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{d}{d y} [\ln (x)] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{d}{d y} [\ln (x)] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \ln (y)$ e $g (y) = x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [x] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{1}{u} \frac{d}{d y} [x] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [x] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

Etapa 3.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Combine $x^{\ln (x)}$ e $\frac{1}{x}$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x^{\ln (x)}}{x} \frac{d}{d y} [x] \ln (x)$

Etapa 3.4.2

Combine $\ln (x)$ e $\frac{x^{\ln (x)}}{x}$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{\ln (x) x^{\ln (x)}}{x} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.4.3

Cancele o fator comum de $x^{\ln (x)}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Fatore $x$ de $\ln (x) x^{\ln (x)}$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})}{x} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})}{x^{1}} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.4.3.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.4.3.2.3

Cancele o fator comum.

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.4.3.2.4

Reescreva a expressão.

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{\ln (x) x^{\ln (x) - 1}}{1} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.4.3.2.5

Divida $\ln (x) x^{\ln (x) - 1}$ por $1$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \ln (x) x^{\ln (x) - 1} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.5

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \ln (x) x^{\ln (x) - 1} x'$

Etapa 3.6

Reordene os fatores de $x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})$ .

$x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' + \ln (x) x^{\ln (x) - 1} x'$

Etapa 3.7

Some $x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$ e $\ln (x) x^{\ln (x) - 1} x'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Reordene $\ln (x)$ e $x^{\ln (x) - 1}$ .

$x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' + x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$

Etapa 3.7.2

Some $x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$ e $x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$ .

$2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = 2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reescreva a equação como $2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' = 1$ .

$2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' = 1$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' = 1$ por $2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' = 1$ por $2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)$ .

$\frac{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Etapa 5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'}{x^{\ln (x) - 1} \ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum de $x^{\ln (x) - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'}{x^{\ln (x) - 1} \ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Etapa 5.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (x) x'}{\ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Etapa 5.2.2.3

Cancele o fator comum de $\ln (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (x) x'}{\ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Etapa 5.2.2.3.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Reordene os fatores em $\frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$ .

$x' = \frac{1}{2 \ln (x) x^{\ln (x) - 1}}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 \ln (x) x^{\ln (x) - 1}}$