Cálculo Exemplos

$y = {(\sqrt{x})}^{x}$

Etapa 1

Mantenha $y = f (x)$ , calcule o logaritmo natural dos dois lados $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({(\sqrt{x})}^{x})$

Etapa 2

Expanda o lado direito.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) = \ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{x})$

Etapa 2.2

Expanda $\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$\ln (y) = x \ln (x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2.3

Expanda $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ movendo $\frac{1}{2}$ para fora do logaritmo.

$\ln (y) = x (\frac{1}{2} \ln (x))$

Etapa 2.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\ln (y) = \frac{x}{2} \ln (x)$

Etapa 2.5

Combine $\frac{x}{2}$ e $\ln (x)$ .

$\ln (y) = \frac{x \ln (x)}{2}$

Etapa 3

Diferencie a expressão usando a regra da cadeia, lembrando que $y$ é uma função de $x$ .

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Etapa 3.1

Diferencie o lado esquerdo $\ln (y)$ usando a regra da cadeia.

$\frac{y'}{y} = \frac{x \ln (x)}{2}$

Etapa 3.2

Diferencie o lado direito.

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Etapa 3.2.1

Diferencie $\frac{x \ln (x)}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

Etapa 3.2.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x \ln (x)}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2.4

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.2.5.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2.5.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.2.5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2.5.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Etapa 3.2.5.4

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 + \ln (x))$

Etapa 3.2.6

Simplifique.

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Etapa 3.2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \ln (x)$

Etapa 3.2.6.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln (x)$

Etapa 3.2.6.3

Reordene os termos.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \ln (x) + \frac{1}{2}$

Etapa 3.2.6.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 4

Isole $y'$ e substitua a função original por $y$ no lado direito.

$y' = (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) {(\sqrt{x})}^{x}$

Etapa 5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1

Reescreva $\frac{\ln (x)}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$y' = (\frac{1}{2} \ln (x) + \frac{1}{2}) {(\sqrt{x})}^{x}$

Etapa 5.1.2

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (x)$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$y' = (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) {(\sqrt{x})}^{x}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y' = \ln (x^{\frac{1}{2}}) {\sqrt{x}}^{x} + \frac{1}{2} {\sqrt{x}}^{x}$

Etapa 5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e ${\sqrt{x}}^{x}$ .

$y' = \ln (x^{\frac{1}{2}}) {\sqrt{x}}^{x} + \frac{{\sqrt{x}}^{x}}{2}$

Etapa 5.4

Reordene os fatores em $\ln (x^{\frac{1}{2}}) {\sqrt{x}}^{x} + \frac{{\sqrt{x}}^{x}}{2}$ .

$y' = {\sqrt{x}}^{x} \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{{\sqrt{x}}^{x}}{2}$