Matemática básica Exemplos

$\frac{16 a^{2} + 40 a + 25}{3 a^{2} - 10 a - 8} \div \frac{4 a + 5}{a^{2} - 8 a + 16}$

Etapa 1

Para dividir por uma fração, multiplique por seu inverso.

$\frac{16 a^{2} + 40 a + 25}{3 a^{2} - 10 a - 8} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

Etapa 2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.1

Reescreva $16 a^{2}$ como ${(4 a)}^{2}$ .

$\frac{{(4 a)}^{2} + 40 a + 25}{3 a^{2} - 10 a - 8} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

Etapa 2.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{{(4 a)}^{2} + 40 a + 5^{2}}{3 a^{2} - 10 a - 8} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

Etapa 2.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$40 a = 2 \cdot (4 a) \cdot 5$

Etapa 2.4

Reescreva o polinômio.

$\frac{{(4 a)}^{2} + 2 \cdot (4 a) \cdot 5 + 5^{2}}{3 a^{2} - 10 a - 8} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

Etapa 2.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = 4 a$ e $b = 5$ .

$\frac{{(4 a + 5)}^{2}}{3 a^{2} - 10 a - 8} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

Etapa 3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ e cuja soma é $b = - 10$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $- 10$ de $- 10 a$ .

$\frac{{(4 a + 5)}^{2}}{3 a^{2} - 10 (a) - 8} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

Etapa 3.1.2

Reescreva $- 10$ como $2$ mais $- 12$

$\frac{{(4 a + 5)}^{2}}{3 a^{2} + (2 - 12) a - 8} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

Etapa 3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(4 a + 5)}^{2}}{3 a^{2} + 2 a - 12 a - 8} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

Etapa 3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{{(4 a + 5)}^{2}}{(3 a^{2} + 2 a) - 12 a - 8} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

Etapa 3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{{(4 a + 5)}^{2}}{a (3 a + 2) - 4 (3 a + 2)} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

Etapa 3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 a + 2$ .

$\frac{{(4 a + 5)}^{2}}{(3 a + 2) (a - 4)} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

Etapa 4

Simplifique os termos.

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum de $4 a + 5$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $4 a + 5$ de ${(4 a + 5)}^{2}$ .

$\frac{(4 a + 5) (4 a + 5)}{(3 a + 2) (a - 4)} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

Etapa 4.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(4 a + 5) (4 a + 5)}{(3 a + 2) (a - 4)} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

Etapa 4.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 a + 5}{(3 a + 2) (a - 4)} (a^{2} - 8 a + 16)$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{4 a + 5}{(3 a + 2) (a - 4)}$ por $a^{2} - 8 a + 16$ .

$\frac{(4 a + 5) (a^{2} - 8 a + 16)}{(3 a + 2) (a - 4)}$

Etapa 5

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 5.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{(4 a + 5) (a^{2} - 8 a + 4^{2})}{(3 a + 2) (a - 4)}$

Etapa 5.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$8 a = 2 \cdot a \cdot 4$

Etapa 5.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{(4 a + 5) (a^{2} - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^{2})}{(3 a + 2) (a - 4)}$

Etapa 5.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = a$ e $b = 4$ .

$\frac{(4 a + 5) {(a - 4)}^{2}}{(3 a + 2) (a - 4)}$

Etapa 6

Cancele o fator comum de ${(a - 4)}^{2}$ e $a - 4$ .

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Etapa 6.1

Fatore $a - 4$ de $(4 a + 5) {(a - 4)}^{2}$ .

$\frac{(a - 4) ((4 a + 5) (a - 4))}{(3 a + 2) (a - 4)}$

Etapa 6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.1

Fatore $a - 4$ de $(3 a + 2) (a - 4)$ .

$\frac{(a - 4) ((4 a + 5) (a - 4))}{(a - 4) (3 a + 2)}$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(a - 4) ((4 a + 5) (a - 4))}{(a - 4) (3 a + 2)}$

Etapa 6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(4 a + 5) (a - 4)}{3 a + 2}$