Matemática básica Exemplos

$\frac{y}{y + 1} + \frac{1}{y^{2} + 3 y + 2}$

Etapa 1

Fatore $y^{2} + 3 y + 2$ usando o método AC.

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Etapa 1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $2$ e cuja soma é $3$ .

$1, 2$

Etapa 1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{y}{y + 1} + \frac{1}{(y + 1) (y + 2)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{y}{y + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y + 2}{y + 2}$ .

$\frac{y}{y + 1} \cdot \frac{y + 2}{y + 2} + \frac{1}{(y + 1) (y + 2)}$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{y}{y + 1}$ por $\frac{y + 2}{y + 2}$ .

$\frac{y (y + 2)}{(y + 1) (y + 2)} + \frac{1}{(y + 1) (y + 2)}$

Etapa 3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{y (y + 2) + 1}{(y + 1) (y + 2)}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y \cdot y + y \cdot 2 + 1}{(y + 1) (y + 2)}$

Etapa 4.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{y^{2} + y \cdot 2 + 1}{(y + 1) (y + 2)}$

Etapa 4.3

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{y^{2} + 2 \cdot y + 1}{(y + 1) (y + 2)}$

Etapa 4.4

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 4.4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{y^{2} + 2 y + 1^{2}}{(y + 1) (y + 2)}$

Etapa 4.4.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 y = 2 \cdot y \cdot 1$

Etapa 4.4.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{y^{2} + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^{2}}{(y + 1) (y + 2)}$

Etapa 4.4.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = y$ e $b = 1$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{(y + 1) (y + 2)}$

Etapa 5

Cancele o fator comum de ${(y + 1)}^{2}$ e $y + 1$ .

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Etapa 5.1

Fatore $y + 1$ de ${(y + 1)}^{2}$ .

$\frac{(y + 1) (y + 1)}{(y + 1) (y + 2)}$

Etapa 5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(y + 1) (y + 1)}{(y + 1) (y + 2)}$

Etapa 5.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y + 1}{y + 2}$