Matemática básica Exemplos

$\frac{z + 3}{z - 6} + \frac{z - 1}{z - 2} \cdot \frac{6 z}{z^{2} - 8 z + 12}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Fatore $z^{2} - 8 z + 12$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $12$ e cuja soma é $- 8$ .

$- 6, - 2$

Etapa 1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{z + 3}{z - 6} + \frac{z - 1}{z - 2} \cdot \frac{6 z}{(z - 6) (z - 2)}$

Etapa 1.2

Multiplique $\frac{z - 1}{z - 2} \cdot \frac{6 z}{(z - 6) (z - 2)}$ .

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Etapa 1.2.1

Multiplique $\frac{z - 1}{z - 2}$ por $\frac{6 z}{(z - 6) (z - 2)}$ .

$\frac{z + 3}{z - 6} + \frac{(z - 1) (6 z)}{(z - 2) ((z - 6) (z - 2))}$

Etapa 1.2.2

Eleve $z - 2$ à potência de $1$ .

$\frac{z + 3}{z - 6} + \frac{(z - 1) (6 z)}{{(z - 2)}^{1} (z - 2) (z - 6)}$

Etapa 1.2.3

Eleve $z - 2$ à potência de $1$ .

$\frac{z + 3}{z - 6} + \frac{(z - 1) (6 z)}{{(z - 2)}^{1} {(z - 2)}^{1} (z - 6)}$

Etapa 1.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{z + 3}{z - 6} + \frac{(z - 1) (6 z)}{{(z - 2)}^{1 + 1} (z - 6)}$

Etapa 1.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{z + 3}{z - 6} + \frac{(z - 1) (6 z)}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Etapa 1.3

Mova $6$ para a esquerda de $z - 1$ .

$\frac{z + 3}{z - 6} + \frac{6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{z + 3}{z - 6}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}}$ .

$\frac{z + 3}{z - 6} \cdot \frac{{(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Etapa 3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(z - 6) {(z - 2)}^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{z + 3}{z - 6}$ por $\frac{{(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}}$ .

$\frac{(z + 3) {(z - 2)}^{2}}{(z - 6) {(z - 2)}^{2}} + \frac{6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Etapa 3.2

Reordene os fatores de $(z - 6) {(z - 2)}^{2}$ .

$\frac{(z + 3) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)} + \frac{6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(z + 3) {(z - 2)}^{2} + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1

Reescreva ${(z - 2)}^{2}$ como $(z - 2) (z - 2)$ .

$\frac{(z + 3) ((z - 2) (z - 2)) + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Etapa 5.2

Expanda $(z - 2) (z - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(z + 3) (z (z - 2) - 2 (z - 2)) + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Etapa 5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(z + 3) (z \cdot z + z \cdot - 2 - 2 (z - 2)) + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Etapa 5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(z + 3) (z \cdot z + z \cdot - 2 - 2 z - 2 \cdot - 2) + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Etapa 5.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1.1

Multiplique $z$ por $z$ .

$\frac{(z + 3) (z^{2} + z \cdot - 2 - 2 z - 2 \cdot - 2) + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Etapa 5.3.1.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $z$ .

$\frac{(z + 3) (z^{2} - 2 \cdot z - 2 z - 2 \cdot - 2) + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Etapa 5.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{(z + 3) (z^{2} - 2 z - 2 z + 4) + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Etapa 5.3.2

Subtraia $2 z$ de $- 2 z$ .

$\frac{(z + 3) (z^{2} - 4 z + 4) + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Etapa 5.4

Expanda $(z + 3) (z^{2} - 4 z + 4)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{z \cdot z^{2} + z (- 4 z) + z \cdot 4 + 3 z^{2} + 3 (- 4 z) + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Etapa 5.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.1

Multiplique $z$ por $z^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.5.1.1

Multiplique $z$ por $z^{2}$ .

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Etapa 5.5.1.1.1

Eleve $z$ à potência de $1$ .

$\frac{z^{1} z^{2} + z (- 4 z) + z \cdot 4 + 3 z^{2} + 3 (- 4 z) + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Etapa 5.5.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{z^{1 + 2} + z (- 4 z) + z \cdot 4 + 3 z^{2} + 3 (- 4 z) + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Etapa 5.5.1.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{z^{3} + z (- 4 z) + z \cdot 4 + 3 z^{2} + 3 (- 4 z) + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Etapa 5.5.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{z^{3} - 4 z \cdot z + z \cdot 4 + 3 z^{2} + 3 (- 4 z) + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Etapa 5.5.3

Multiplique $z$ por $z$ somando os expoentes.

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Etapa 5.5.3.1

Mova $z$ .

$\frac{z^{3} - 4 (z \cdot z) + z \cdot 4 + 3 z^{2} + 3 (- 4 z) + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Etapa 5.5.3.2

Multiplique $z$ por $z$ .

$\frac{z^{3} - 4 z^{2} + z \cdot 4 + 3 z^{2} + 3 (- 4 z) + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Etapa 5.5.4

Mova $4$ para a esquerda de $z$ .

$\frac{z^{3} - 4 z^{2} + 4 \cdot z + 3 z^{2} + 3 (- 4 z) + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Etapa 5.5.5

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$\frac{z^{3} - 4 z^{2} + 4 z + 3 z^{2} - 12 z + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Etapa 5.5.6

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{z^{3} - 4 z^{2} + 4 z + 3 z^{2} - 12 z + 12 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Etapa 5.6

Some $- 4 z^{2}$ e $3 z^{2}$ .

$\frac{z^{3} - z^{2} + 4 z - 12 z + 12 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Etapa 5.7

Subtraia $12 z$ de $4 z$ .

$\frac{z^{3} - z^{2} - 8 z + 12 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Etapa 5.8

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{z^{3} - z^{2} - 8 z + 12 + (6 z + 6 \cdot - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Etapa 5.9

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$\frac{z^{3} - z^{2} - 8 z + 12 + (6 z - 6) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Etapa 5.10

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{z^{3} - z^{2} - 8 z + 12 + 6 z \cdot z - 6 z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Etapa 5.11

Multiplique $z$ por $z$ somando os expoentes.

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Etapa 5.11.1

Mova $z$ .

$\frac{z^{3} - z^{2} - 8 z + 12 + 6 (z \cdot z) - 6 z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Etapa 5.11.2

Multiplique $z$ por $z$ .

$\frac{z^{3} - z^{2} - 8 z + 12 + 6 z^{2} - 6 z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Etapa 5.12

Some $- z^{2}$ e $6 z^{2}$ .

$\frac{z^{3} + 5 z^{2} - 8 z + 12 - 6 z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Etapa 5.13

Subtraia $6 z$ de $- 8 z$ .

$\frac{z^{3} + 5 z^{2} - 14 z + 12}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$