Matemática básica Exemplos

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{7}}{3 \sqrt{5} - \sqrt{7}}$

Etapa 1

Multiplique $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{7}}{3 \sqrt{5} - \sqrt{7}}$ por $\frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{7}}{3 \sqrt{5} + \sqrt{7}}$ .

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{7}}{3 \sqrt{5} - \sqrt{7}} \cdot \frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{7}}{3 \sqrt{5} + \sqrt{7}}$

Etapa 2

Combine frações.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{7}}{3 \sqrt{5} - \sqrt{7}}$ por $\frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{7}}{3 \sqrt{5} + \sqrt{7}}$ .

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{7}) (3 \sqrt{5} + \sqrt{7})}{(3 \sqrt{5} - \sqrt{7}) (3 \sqrt{5} + \sqrt{7})}$

Etapa 2.2

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{7}) (3 \sqrt{5} + \sqrt{7})}{9 {\sqrt{5}}^{2} + 3 \sqrt{35} - 3 \sqrt{35} - {\sqrt{7}}^{2}}$

Etapa 2.3

Simplifique.

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{7}) (3 \sqrt{5} + \sqrt{7})}{38}$

Etapa 3

Expanda $(\sqrt{5} + \sqrt{7}) (3 \sqrt{5} + \sqrt{7})$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{5} (3 \sqrt{5} + \sqrt{7}) + \sqrt{7} (3 \sqrt{5} + \sqrt{7})}{38}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{5} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5} + \sqrt{7})}{38}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{5} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Etapa 4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $\sqrt{5} (3 \sqrt{5})$ .

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Etapa 4.1.1.1

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Etapa 4.1.1.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Etapa 4.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 {\sqrt{5}}^{1 + 1} + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Etapa 4.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3 {\sqrt{5}}^{2} + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Etapa 4.1.2

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 4.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Etapa 4.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Etapa 4.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Etapa 4.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Etapa 4.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \cdot 5^{1} + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Etapa 4.1.2.5

Avalie o expoente.

$\frac{3 \cdot 5 + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Etapa 4.1.3

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{15 + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Etapa 4.1.4

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{15 + \sqrt{5 \cdot 7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Etapa 4.1.5

Multiplique $5$ por $7$ .

$\frac{15 + \sqrt{35} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Etapa 4.1.6

Multiplique $\sqrt{7} (3 \sqrt{5})$ .

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Etapa 4.1.6.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{15 + \sqrt{35} + 3 \sqrt{7 \cdot 5} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Etapa 4.1.6.2

Multiplique $7$ por $5$ .

$\frac{15 + \sqrt{35} + 3 \sqrt{35} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Etapa 4.1.7

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{15 + \sqrt{35} + 3 \sqrt{35} + \sqrt{7 \cdot 7}}{38}$

Etapa 4.1.8

Multiplique $7$ por $7$ .

$\frac{15 + \sqrt{35} + 3 \sqrt{35} + \sqrt{49}}{38}$

Etapa 4.1.9

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{15 + \sqrt{35} + 3 \sqrt{35} + \sqrt{7^{2}}}{38}$

Etapa 4.1.10

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{15 + \sqrt{35} + 3 \sqrt{35} + 7}{38}$

Etapa 4.2

Some $15$ e $7$ .

$\frac{22 + \sqrt{35} + 3 \sqrt{35}}{38}$

Etapa 4.3

Some $\sqrt{35}$ e $3 \sqrt{35}$ .

$\frac{22 + 4 \sqrt{35}}{38}$

Etapa 5

Cancele o fator comum de $22 + 4 \sqrt{35}$ e $38$ .

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Etapa 5.1

Fatore $2$ de $22$ .

$\frac{2 (11) + 4 \sqrt{35}}{38}$

Etapa 5.2

Fatore $2$ de $4 \sqrt{35}$ .

$\frac{2 (11) + 2 (2 \sqrt{35})}{38}$

Etapa 5.3

Fatore $2$ de $2 (11) + 2 (2 \sqrt{35})$ .

$\frac{2 (11 + 2 \sqrt{35})}{38}$

Etapa 5.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.4.1

Fatore $2$ de $38$ .

$\frac{2 (11 + 2 \sqrt{35})}{2 \cdot 19}$

Etapa 5.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (11 + 2 \sqrt{35})}{2 \cdot 19}$

Etapa 5.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{11 + 2 \sqrt{35}}{19}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{11 + 2 \sqrt{35}}{19}$

Forma decimal:

$1.20169260 \dots$