Matemática básica Exemplos

$\frac{1}{a^{2} - 1} + \frac{a - 1}{a^{2} + 3 a - 4}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{a^{2} - 1^{2}} + \frac{a - 1}{a^{2} + 3 a - 4}$

Etapa 1.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = a$ e $b = 1$ .

$\frac{1}{(a + 1) (a - 1)} + \frac{a - 1}{a^{2} + 3 a - 4}$

Etapa 1.2

Fatore $a^{2} + 3 a - 4$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 4$ e cuja soma é $3$ .

$- 1, 4$

Etapa 1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{1}{(a + 1) (a - 1)} + \frac{a - 1}{(a - 1) (a + 4)}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $a - 1$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(a + 1) (a - 1)} + \frac{a - 1}{(a - 1) (a + 4)}$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{(a + 1) (a - 1)} + \frac{1}{a + 4}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{1}{(a + 1) (a - 1)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{a + 4}{a + 4}$ .

$\frac{1}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{a + 4}{a + 4} + \frac{1}{a + 4}$

Etapa 3

Para escrever $\frac{1}{a + 4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$ .

$\frac{1}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{a + 4}{a + 4} + \frac{1}{a + 4} \cdot \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(a + 1) (a - 1) (a + 4)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{1}{(a + 1) (a - 1)}$ por $\frac{a + 4}{a + 4}$ .

$\frac{a + 4}{(a + 1) (a - 1) (a + 4)} + \frac{1}{a + 4} \cdot \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{1}{a + 4}$ por $\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$ .

$\frac{a + 4}{(a + 1) (a - 1) (a + 4)} + \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 4) ((a + 1) (a - 1))}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(a + 1) (a - 1) (a + 4)$ .

$\frac{a + 4}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)} + \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 4) ((a + 1) (a - 1))}$

Etapa 4.4

Reordene os fatores de $(a + 4) ((a + 1) (a - 1))$ .

$\frac{a + 4}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)} + \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{a + 4 + (a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Expanda $(a + 1) (a - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{a + 4 + a (a - 1) + 1 (a - 1)}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

Etapa 6.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{a + 4 + a \cdot a + a \cdot - 1 + 1 (a - 1)}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

Etapa 6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{a + 4 + a \cdot a + a \cdot - 1 + 1 a + 1 \cdot - 1}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

Etapa 6.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Multiplique $a$ por $a$ .

$\frac{a + 4 + a^{2} + a \cdot - 1 + 1 a + 1 \cdot - 1}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

Etapa 6.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $a$ .

$\frac{a + 4 + a^{2} - 1 \cdot a + 1 a + 1 \cdot - 1}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

Etapa 6.2.1.3

Reescreva $- 1 a$ como $- a$ .

$\frac{a + 4 + a^{2} - a + 1 a + 1 \cdot - 1}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $a$ por $1$ .

$\frac{a + 4 + a^{2} - a + a + 1 \cdot - 1}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

Etapa 6.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{a + 4 + a^{2} - a + a - 1}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

Etapa 6.2.2

Some $- a$ e $a$ .

$\frac{a + 4 + a^{2} + 0 - 1}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

Etapa 6.2.3

Some $a^{2}$ e $0$ .

$\frac{a + 4 + a^{2} - 1}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

Etapa 6.3

Subtraia $1$ de $4$ .

$\frac{a + a^{2} + 3}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

Etapa 6.4

Reordene os termos.

$\frac{a^{2} + a + 3}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$