Matemática básica Exemplos

$\frac{z^{4} - 81}{z^{4} - 1} \cdot \frac{z^{2} + 1}{z^{2} + 9}$

Etapa 1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1

Reescreva $z^{4}$ como ${(z^{2})}^{2}$ .

$\frac{{(z^{2})}^{2} - 81}{z^{4} - 1} \cdot \frac{z^{2} + 1}{z^{2} + 9}$

Etapa 1.2

Reescreva $81$ como $9^{2}$ .

$\frac{{(z^{2})}^{2} - 9^{2}}{z^{4} - 1} \cdot \frac{z^{2} + 1}{z^{2} + 9}$

Etapa 1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = z^{2}$ e $b = 9$ .

$\frac{(z^{2} + 9) (z^{2} - 9)}{z^{4} - 1} \cdot \frac{z^{2} + 1}{z^{2} + 9}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{(z^{2} + 9) (z^{2} - 3^{2})}{z^{4} - 1} \cdot \frac{z^{2} + 1}{z^{2} + 9}$

Etapa 1.4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = z$ e $b = 3$ .

$\frac{(z^{2} + 9) (z + 3) (z - 3)}{z^{4} - 1} \cdot \frac{z^{2} + 1}{z^{2} + 9}$

Etapa 2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1

Reescreva $z^{4}$ como ${(z^{2})}^{2}$ .

$\frac{(z^{2} + 9) (z + 3) (z - 3)}{{(z^{2})}^{2} - 1} \cdot \frac{z^{2} + 1}{z^{2} + 9}$

Etapa 2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(z^{2} + 9) (z + 3) (z - 3)}{{(z^{2})}^{2} - 1^{2}} \cdot \frac{z^{2} + 1}{z^{2} + 9}$

Etapa 2.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = z^{2}$ e $b = 1$ .

$\frac{(z^{2} + 9) (z + 3) (z - 3)}{(z^{2} + 1) (z^{2} - 1)} \cdot \frac{z^{2} + 1}{z^{2} + 9}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(z^{2} + 9) (z + 3) (z - 3)}{(z^{2} + 1) (z^{2} - 1^{2})} \cdot \frac{z^{2} + 1}{z^{2} + 9}$

Etapa 2.4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = z$ e $b = 1$ .

$\frac{(z^{2} + 9) (z + 3) (z - 3)}{(z^{2} + 1) (z + 1) (z - 1)} \cdot \frac{z^{2} + 1}{z^{2} + 9}$

Etapa 3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $z^{2} + 9$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $z^{2} + 9$ de $(z^{2} + 9) (z + 3) (z - 3)$ .

$\frac{(z^{2} + 9) ((z + 3) (z - 3))}{(z^{2} + 1) (z + 1) (z - 1)} \cdot \frac{z^{2} + 1}{z^{2} + 9}$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(z^{2} + 9) ((z + 3) (z - 3))}{(z^{2} + 1) (z + 1) (z - 1)} \cdot \frac{z^{2} + 1}{z^{2} + 9}$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{(z^{2} + 1) (z + 1) (z - 1)} \cdot (z^{2} + 1)$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $z^{2} + 1$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $z^{2} + 1$ de $(z^{2} + 1) (z + 1) (z - 1)$ .

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{(z^{2} + 1) ((z + 1) (z - 1))} \cdot (z^{2} + 1)$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{(z^{2} + 1) ((z + 1) (z - 1))} \cdot (z^{2} + 1)$

Etapa 3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{(z + 1) (z - 1)}$