Matemática básica Exemplos

$\frac{z^{3} - 1}{2 z^{2} - z - 1} \div \frac{z^{2} + z + 1}{2 z^{2} + 9 z + 4}$

Etapa 1

Para dividir por uma fração, multiplique por seu inverso.

$\frac{z^{3} - 1}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Etapa 2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{z^{3} - 1^{3}}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Etapa 2.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = z$ e $b = 1$ .

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z \cdot 1 + 1^{2})}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $z$ por $1$ .

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1^{2})}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Etapa 2.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Etapa 3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e cuja soma é $b = - 1$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $- 1$ de $- z$ .

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} - (z) - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Etapa 3.1.2

Reescreva $- 1$ como $1$ mais $- 2$

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} + (1 - 2) z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Etapa 3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} + 1 z - 2 z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Etapa 3.1.4

Multiplique $z$ por $1$ .

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} + z - 2 z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Etapa 3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{(2 z^{2} + z) - 2 z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Etapa 3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{z (2 z + 1) - (2 z + 1)} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Etapa 3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 z + 1$ .

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{(2 z + 1) (z - 1)} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $z^{2} + z + 1$ .

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Etapa 4.1

Fatore $z^{2} + z + 1$ de $(z - 1) (z^{2} + z + 1)$ .

$\frac{(z^{2} + z + 1) (z - 1)}{(2 z + 1) (z - 1)} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(z^{2} + z + 1) (z - 1)}{(2 z + 1) (z - 1)} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Etapa 4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{z - 1}{(2 z + 1) (z - 1)} (2 z^{2} + 9 z + 4)$

Etapa 5

Cancele o fator comum de $z - 1$ .

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{z - 1}{(2 z + 1) (z - 1)} (2 z^{2} + 9 z + 4)$

Etapa 5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 z + 1} (2 z^{2} + 9 z + 4)$

Etapa 6

Multiplique $\frac{1}{2 z + 1}$ por $2 z^{2} + 9 z + 4$ .

$\frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{2 z + 1}$

Etapa 7

Fatore por agrupamento.

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Etapa 7.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 4 = 8$ e cuja soma é $b = 9$ .

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Etapa 7.1.1

Fatore $9$ de $9 z$ .

$\frac{2 z^{2} + 9 (z) + 4}{2 z + 1}$

Etapa 7.1.2

Reescreva $9$ como $1$ mais $8$

$\frac{2 z^{2} + (1 + 8) z + 4}{2 z + 1}$

Etapa 7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 z^{2} + 1 z + 8 z + 4}{2 z + 1}$

Etapa 7.1.4

Multiplique $z$ por $1$ .

$\frac{2 z^{2} + z + 8 z + 4}{2 z + 1}$

Etapa 7.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(2 z^{2} + z) + 8 z + 4}{2 z + 1}$

Etapa 7.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{z (2 z + 1) + 4 (2 z + 1)}{2 z + 1}$

Etapa 7.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 z + 1$ .

$\frac{(2 z + 1) (z + 4)}{2 z + 1}$

Etapa 8

Cancele o fator comum de $2 z + 1$ .

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Etapa 8.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 z + 1) (z + 4)}{2 z + 1}$

Etapa 8.2

Divida $z + 4$ por $1$ .

$z + 4$