Matemática básica Exemplos

$\frac{p^{2} - 6 p + 9}{2 p^{2} - 7 p - 22} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

Etapa 1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{p^{2} - 6 p + 3^{2}}{2 p^{2} - 7 p - 22} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

Etapa 1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$6 p = 2 \cdot p \cdot 3$

Etapa 1.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{p^{2} - 2 \cdot p \cdot 3 + 3^{2}}{2 p^{2} - 7 p - 22} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

Etapa 1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = p$ e $b = 3$ .

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{2 p^{2} - 7 p - 22} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

Etapa 2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 22 = - 44$ e cuja soma é $b = - 7$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $- 7$ de $- 7 p$ .

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{2 p^{2} - 7 (p) - 22} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

Etapa 2.1.2

Reescreva $- 7$ como $4$ mais $- 11$

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{2 p^{2} + (4 - 11) p - 22} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

Etapa 2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{2 p^{2} + 4 p - 11 p - 22} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

Etapa 2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(2 p^{2} + 4 p) - 11 p - 22} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{2 p (p + 2) - 11 (p + 2)} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

Etapa 2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $p + 2$ .

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

Etapa 3

Fatore $p^{2} - 6 p - 16$ usando o método AC.

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Etapa 3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 16$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 8, 2$

Etapa 3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{(p - 8) (p + 2)}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

Etapa 4

Fatore por agrupamento.

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Etapa 4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ e cuja soma é $b = - 8$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $- 8$ de $- 8 p$ .

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{(p - 8) (p + 2)}{3 p^{2} - 8 (p) - 3}$

Etapa 4.1.2

Reescreva $- 8$ como $1$ mais $- 9$

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{(p - 8) (p + 2)}{3 p^{2} + (1 - 9) p - 3}$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{(p - 8) (p + 2)}{3 p^{2} + 1 p - 9 p - 3}$

Etapa 4.1.4

Multiplique $p$ por $1$ .

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{(p - 8) (p + 2)}{3 p^{2} + p - 9 p - 3}$

Etapa 4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{(p - 8) (p + 2)}{(3 p^{2} + p) - 9 p - 3}$

Etapa 4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{(p - 8) (p + 2)}{p (3 p + 1) - 3 (3 p + 1)}$

Etapa 4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 p + 1$ .

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{(p - 8) (p + 2)}{(3 p + 1) (p - 3)}$

Etapa 5

Combine.

$\frac{{(p - 3)}^{2} ((p - 8) (p + 2))}{(p + 2) (2 p - 11) ((3 p + 1) (p - 3))}$

Etapa 6

Cancele o fator comum de ${(p - 3)}^{2}$ e $p - 3$ .

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Etapa 6.1

Fatore $p - 3$ de ${(p - 3)}^{2} ((p - 8) (p + 2))$ .

$\frac{(p - 3) ((p - 3) ((p - 8) (p + 2)))}{(p + 2) (2 p - 11) ((3 p + 1) (p - 3))}$

Etapa 6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.1

Fatore $p - 3$ de $(p + 2) (2 p - 11) ((3 p + 1) (p - 3))$ .

$\frac{(p - 3) ((p - 3) ((p - 8) (p + 2)))}{(p - 3) ((p + 2) (2 p - 11) (3 p + 1))}$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(p - 3) ((p - 3) ((p - 8) (p + 2)))}{(p - 3) ((p + 2) (2 p - 11) (3 p + 1))}$

Etapa 6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(p - 3) ((p - 8) (p + 2))}{(p + 2) (2 p - 11) (3 p + 1)}$

Etapa 7

Cancele o fator comum de $p + 2$ .

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Etapa 7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(p - 3) ((p - 8) (p + 2))}{(p + 2) (2 p - 11) (3 p + 1)}$

Etapa 7.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(p - 3) (p - 8)}{(2 p - 11) (3 p + 1)}$