Matemática básica Exemplos

$\frac{y^{3} - 8}{y^{2} + 6 y - 16} \cdot \frac{y^{2} + 8 y}{y^{3} + 2 y^{2} + 4 y}$

Etapa 1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{y^{3} - 2^{3}}{y^{2} + 6 y - 16} \cdot \frac{y^{2} + 8 y}{y^{3} + 2 y^{2} + 4 y}$

Etapa 1.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = y$ e $b = 2$ .

$\frac{(y - 2) (y^{2} + y \cdot 2 + 2^{2})}{y^{2} + 6 y - 16} \cdot \frac{y^{2} + 8 y}{y^{3} + 2 y^{2} + 4 y}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 \cdot y + 2^{2})}{y^{2} + 6 y - 16} \cdot \frac{y^{2} + 8 y}{y^{3} + 2 y^{2} + 4 y}$

Etapa 1.3.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)}{y^{2} + 6 y - 16} \cdot \frac{y^{2} + 8 y}{y^{3} + 2 y^{2} + 4 y}$

Etapa 2

Fatore $y^{2} + 6 y - 16$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 16$ e cuja soma é $6$ .

$- 2, 8$

Etapa 2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{y^{2} + 8 y}{y^{3} + 2 y^{2} + 4 y}$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Fatore $y$ de $y^{2} + 8 y$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{y \cdot y + 8 y}{y^{3} + 2 y^{2} + 4 y}$

Etapa 3.1.2

Fatore $y$ de $8 y$ .

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{y \cdot y + y \cdot 8}{y^{3} + 2 y^{2} + 4 y}$

Etapa 3.1.3

Fatore $y$ de $y \cdot y + y \cdot 8$ .

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{y (y + 8)}{y^{3} + 2 y^{2} + 4 y}$

Etapa 3.2

Fatore $y$ de $y^{3} + 2 y^{2} + 4 y$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $y$ de $y^{3}$ .

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{y (y + 8)}{y \cdot y^{2} + 2 y^{2} + 4 y}$

Etapa 3.2.2

Fatore $y$ de $2 y^{2}$ .

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{y (y + 8)}{y \cdot y^{2} + y (2 y) + 4 y}$

Etapa 3.2.3

Fatore $y$ de $4 y$ .

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{y (y + 8)}{y \cdot y^{2} + y (2 y) + y \cdot 4}$

Etapa 3.2.4

Fatore $y$ de $y \cdot y^{2} + y (2 y)$ .

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{y (y + 8)}{y (y^{2} + 2 y) + y \cdot 4}$

Etapa 3.2.5

Fatore $y$ de $y (y^{2} + 2 y) + y \cdot 4$ .

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{y (y + 8)}{y (y^{2} + 2 y + 4)}$

Etapa 3.3

Combine.

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) (y (y + 8))}{(y - 2) (y + 8) (y (y^{2} + 2 y + 4))}$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $y - 2$ .

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Etapa 3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) (y (y + 8))}{(y - 2) (y + 8) (y (y^{2} + 2 y + 4))}$

Etapa 3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(y^{2} + 2 y + 4) (y (y + 8))}{(y + 8) (y (y^{2} + 2 y + 4))}$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $y^{2} + 2 y + 4$ .

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Etapa 3.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(y^{2} + 2 y + 4) (y (y + 8))}{(y + 8) (y (y^{2} + 2 y + 4))}$

Etapa 3.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y (y + 8)}{(y + 8) (y)}$

Etapa 3.6

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (y + 8)}{(y + 8) y}$

Etapa 3.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y + 8}{y + 8}$

Etapa 3.7

Cancele o fator comum de $y + 8$ .

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Etapa 3.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y + 8}{y + 8}$

Etapa 3.7.2

Reescreva a expressão.

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